Тема

Повышенной сложности: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «повышенной сложности» встречается в 43 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 90 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 8: Производная и первообразная — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 9: Прикладная задача — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 10: Текстовая задача — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 12: Наибольшее и наименьшее — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 13: Уравнения — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 14: Стереометрия — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 15: Неравенства — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 16: Финансовая задача — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 17: Планиметрия — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 19: Числа и их свойства — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 10: Практическая планиметрия — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 11: Практическая стереометрия — 1 задача
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 13: Стереометрия — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 14: Вычисления — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 15: Проценты — 5 задач
ЕГЭ база, задание 16: Преобразования выражений — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 18: Неравенства и числовая прямая — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 19: Числа и их свойства — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 20: Текстовая задача — 3 задачи
ОГЭ, задание 6: Вычисления — 1 задача
ОГЭ, задание 7: Числа на прямой — 1 задача
ОГЭ, задание 8: Степени и корни — 1 задача
ОГЭ, задание 9: Уравнения — 1 задача
ОГЭ, задание 10: Теория вероятностей — 1 задача
ОГЭ, задание 11: Графики функций — 1 задача
ОГЭ, задание 12: Расчёты по формулам — 1 задача
ОГЭ, задание 13: Неравенства — 1 задача
ОГЭ, задание 14: Прогрессии — 1 задача
ОГЭ, задание 15: Треугольники — 1 задача
ОГЭ, задание 16: Окружность — 1 задача
ОГЭ, задание 17: Четырёхугольники — 1 задача
ОГЭ, задание 18: Фигуры на клетках — 1 задача
ОГЭ, задание 19: Верные утверждения — 1 задача
ОГЭ, задание 20: Алгебраические выражения — 3 задачи
ОГЭ, задание 21: Текстовая задача — 3 задачи
ОГЭ, задание 22: Графики — 3 задачи
ОГЭ, задание 23: Геометрия: вычисления — 2 задачи
ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство — 2 задачи
ОГЭ, задание 25: Геометрия повышенной сложности — 3 задачи

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: повышенная

Лестница длиной $10$ м приставлена к вертикальной стене. Нижний конец лестницы стоит на расстоянии $6$ м от стены. Верхний конец лестницы опустился по стене на $2$ м. На сколько метров при этом сместился от стены нижний конец лестницы?

Подсказки

Лестница, стена и земля образуют прямоугольный треугольник, в котором лестница — гипотенуза. Длина лестницы не меняется.
Найдите по теореме Пифагора начальную высоту верхнего конца, затем высоту после опускания.
По новой высоте и длине лестницы снова найдите расстояние от нижнего конца до стены и вычтите начальное расстояние.

Решение

Начальная высота: $\sqrt{10^2-6^2}=8$ м. После опускания на $2$ м высота равна $6$ м, тогда расстояние от стены $\sqrt{10^2-6^2}=8$ м. Нижний конец сместился на $8-6=2$ м. Ответ: 2.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

Фонарь закреплён на столбе на высоте $7{,}2$ м. Человек ростом $1{,}8$ м стоит на расстоянии $6$ м от основания столба. Затем он отходит от столба ещё на $3$ м. На сколько метров при этом удлиняется его тень?

Подсказки

Луч от фонаря через голову человека образует с землёй треугольник, подобный большому треугольнику «фонарь — основание столба — конец тени».
Если длина тени равна $s$ , а расстояние от столба до человека равно $d$ , то $\dfrac{s}{s+d}=\dfrac{1{,}8}{7{,}2}$ .
Найдите длину тени для $d=6$ и для $d=9$ и вычтите.

Решение

Из подобия $\dfrac{s}{s+d}=\dfrac{1{,}8}{7{,}2}=\dfrac14$ , откуда $s=\dfrac d3$ . При $d=6$ тень равна $2$ м, при $d=9$ — $3$ м. Тень удлинилась на $1$ м. Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

В сосуде, имеющем форму конуса (вершина направлена вниз), уровень жидкости достигает $\dfrac13$ высоты сосуда. Объём налитой жидкости равен $90$ мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Подсказки

Жидкость заполняет конус, подобный всему сосуду.
Коэффициент подобия равен $\dfrac13$ , а объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.
Найдите объём всего сосуда и вычтите объём налитой жидкости.

Решение

Объём сосуда относится к объёму жидкости как $3^3=27$ , поэтому объём сосуда равен $90\cdot27=2430$ мл. Нужно долить $2430-90=2340$ мл. Ответ: 2340.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

Основания равнобедренной трапеции равны $12$ и $20$ , а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Подсказки

Через вершину проведите прямую, параллельную диагонали, до пересечения с продолжением основания.
Получится равнобедренный прямоугольный треугольник, основание которого равно сумме оснований трапеции, а высота совпадает с высотой трапеции.
Высота трапеции равна половине суммы оснований. Далее используйте формулу площади трапеции.

Решение

Сдвинем одну диагональ параллельно себе на длину меньшего основания: получится прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $12+20=32$ . Его высота, равная высоте трапеции, равна половине гипотенузы: $h=16$ . Площадь $S=\dfrac{12+20}{2}\cdot16=256$ . Ответ: 256.

Решить в Telegram