Задание 8 ЕГЭ профиль по математике: производная и первообразная

Формулы к заданию 8

Производная

• $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ — определение производной в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента
• $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=k$ — геометрический смысл: угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$
• $v(t)=x'(t),\quad a(t)=v'(t)=x''(t)$ — физический смысл: скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости
• $f'>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'<0\Rightarrow f\downarrow$ — признак монотонности: где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает
• $C'=0,\quad x'=1,\quad (x^n)'=nx^{n-1}$ — константа и степень

Касательная к графику

• $k=f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$
• $k=\operatorname{tg}\alpha$ — $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$; $\alpha$ острый $\Rightarrow k>0$, тупой $\Rightarrow k<0$
• $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент находят по двум точкам касательной на графике (по клеткам)
• $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ — уравнение касательной в точке $x_0$
• $f'(x_0)=0$ — касательная параллельна оси $Ox$ (горизонтальна): $y=f(x_0)$

Чтение графика производной

• $f'(x)>0$ — график $f'$ выше оси $Ox$: функция $f$ возрастает на этом промежутке
• $f'(x)<0$ — график $f'$ ниже оси $Ox$: функция $f$ убывает на этом промежутке
• $f'(x_0)=0$ — график $f'$ пересекает ось $Ox$ или касается её: $x_0$ — критическая точка функции $f$
• $f'\colon{+}\to{-}$ — производная меняет знак с «+» на «−»: $x_0$ — точка максимума функции $f$
• $f'\colon{-}\to{+}$ — производная меняет знак с «−» на «+»: $x_0$ — точка минимума функции $f$

Наибольшее и наименьшее значение функции

• $f'(x)=0$ — критические точки: решают уравнение; точки, где $f'$ не существует, тоже критические
• $x_i\in[a;\,b]$ — в рассмотрение берут только критические точки, лежащие внутри отрезка
• $f(a),\ f(b),\ f(x_1),\dots,f(x_n)$ — наибольшее и наименьшее из этих чисел — ответ на отрезке $[a;\,b]$
• $f'\colon{+}\to{-}$ — смена знака производной с «+» на «−»: точка максимума
• $f'\colon{-}\to{+}$ — смена знака с «−» на «+»: точка минимума

Первообразная

• $F'(x)=f(x)$ — определение первообразной на промежутке
• $F(x)+C$ — общий вид первообразных, $C$ — любая константа
• $0 \to C,\quad k \to kx+C$ — первообразные нуля и константы
• $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ — степень, $n\ne-1$; например $x^2\to\dfrac{x^3}{3}$
• $\dfrac1x \to \ln|x|+C$ — первообразная для $\dfrac1x$ на промежутках, не содержащих нуль

Определённый интеграл и площадь

• $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ — формула Ньютона — Лейбница, $F$ — любая первообразная $f$
• $S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — площадь криволинейной трапеции под графиком $f(x)\ge0$ на $[a;\,b]$
• $S=\displaystyle\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)dx$ — площадь фигуры между графиками при $f(x)\ge g(x)$ на $[a;\,b]$
• $f\le0\Rightarrow S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ — под осью $Ox$ интеграл отрицателен, площадь равна его модулю
• $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0,\quad \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ — граничные свойства

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.