Задание 7 ЕГЭ профиль по математике: вычисления и преобразования

Формулы к заданию 7

Степени и корни

• $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ — при умножении степеней с одним основанием показатели складываются
• $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ — при делении показатели вычитаются, $a\ne0$
• $(a^m)^n=a^{mn}$ — степень степени
• $(ab)^n=a^n b^n,\quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$ — степень произведения и частного
• $a^0=1,\quad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ — нулевой и отрицательный показатель, $a\ne0$

Логарифмы

• $\log_a b=c \iff a^c=b$ — определение, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$
• $a^{\log_a b}=b$ — основное логарифмическое тождество
• $\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$ — частные значения
• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — логарифм произведения, $x>0$, $y>0$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — логарифм частного, $x>0$, $y>0$

ФСУ и преобразования

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — квадрат суммы
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — квадрат разности
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — разность квадратов
• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — куб суммы
• $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ — куб разности

Единичная окружность и радианы

• $\sin\alpha=y,\ \cos\alpha=x$ — координаты точки $(x;\,y)$ единичной окружности $x^2+y^2=1$
• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}\ (x\ne0),\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{x}{y}\ (y\ne0)$ — тангенс и котангенс через координаты точки
• $\pi\ \text{рад}=180^\circ,\quad 1\ \text{рад}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ$ — связь радиан и градусов
• $\alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180},\quad \alpha^\circ=\alpha_{\text{рад}}\cdot\dfrac{180}{\pi}$ — перевод; $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$
• $l=\alpha R$ — длина дуги окружности радиуса $R$ для угла $\alpha$ в радианах

Тригонометрия: значения и формулы приведения

• $\sin 0=0,\ \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12,\ \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{2}=1$ — значения синуса
• $\cos 0=1,\ \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12,\ \cos\dfrac{\pi}{2}=0$ — значения косинуса
• $\operatorname{tg}0=0,\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1,\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ — значения тангенса; $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}$ не существует
• $\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3,\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{4}=1,\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2}=0$ — значения котангенса; $\operatorname{ctg}0$ не существует
• $\sin\pi=0,\ \cos\pi=-1,\ \sin\dfrac{3\pi}{2}=-1,\ \cos\dfrac{3\pi}{2}=0,\ \sin2\pi=0,\ \cos2\pi=1$ — значения в точках $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$

Формулы приведения

• $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ — угол $\pi-\alpha$ лежит во II четверти
• $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ — III четверть
• $\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$ — IV четверть
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ — функция меняется на кофункцию
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$ — II четверть

Тригонометрические формулы

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — основное тригонометрическое тождество; отсюда $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, знак по четверти
• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$ — тангенс и котангенс, $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$
• $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ — связь тангенса и косинуса, $\cos\alpha\ne0$
• $1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ — связь котангенса и синуса, $\sin\alpha\ne0$
• $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ — синус двойного угла

Сумма и произведение, универсальная подстановка

• $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — сумма синусов
• $\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ — разность синусов
• $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — сумма косинусов
• $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — разность косинусов
• $\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$ — сумма и разность тангенсов, $\cos\alpha\ne0$, $\cos\beta\ne0$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.