Единичная окружность и радианы: формулы

Угол откладывают от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки; точка $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$ единичной окружности — конец этого угла. Для острого угла прямоугольного треугольника те же функции — отношения сторон.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: тригонометрия.

• $$\sin A=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\ \cos A=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$острый угол прямоугольного треугольника ОГЭ
• $$\operatorname{tg}A=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$$тангенс острого угла ОГЭ
• $$\sin^2A+\cos^2A=1$$основное тригонометрическое тождество ОГЭ
• $$\sin A=\cos(90^\circ-A),\quad \operatorname{tg}A=\dfrac{1}{\operatorname{tg}(90^\circ-A)}$$в прямоугольном треугольнике $\angle A+\angle B=90^\circ$ ОГЭ
• $$\sin\alpha=y,\ \cos\alpha=x$$координаты точки $(x;\,y)$ единичной окружности $x^2+y^2=1$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}\ (x\ne0),\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{x}{y}\ (y\ne0)$$тангенс и котангенс через координаты точки ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\pi\ \text{рад}=180^\circ,\quad 1\ \text{рад}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ$$связь радиан и градусов ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180},\quad \alpha^\circ=\alpha_{\text{рад}}\cdot\dfrac{180}{\pi}$$перевод; $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$l=\alpha R$$длина дуги окружности радиуса $R$ для угла $\alpha$ в радианах ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$S_{\text{сект}}=\dfrac{\alpha R^2}{2}$$площадь сектора, $\alpha$ в радианах ЕГЭ профиль
• $$\sin\alpha>0 \iff \alpha\in(2\pi k;\ \pi+2\pi k),\quad \cos\alpha>0 \iff \alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)$$знаки синуса (I, II четверти) и косинуса (I, IV) ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\operatorname{tg}\alpha>0 \iff \operatorname{ctg}\alpha>0 \iff \alpha\in\left(\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right)$$тангенс и котангенс положительны в I и III четвертях, отрицательны во II и IV ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$|\sin\alpha|\le1,\quad |\cos\alpha|\le1$$ограниченность; $\operatorname{tg}\alpha$ и $\operatorname{ctg}\alpha$ принимают любые значения ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\alpha+2\pi k$$все углы, которым соответствует одна и та же точка окружности, $k\in\mathbb{Z}$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2}$$оси координат: $\dfrac{\pi}{2}$ — вверх, $\pi$ — влево, $\dfrac{3\pi}{2}$ — вниз ЕГЭ профиль, ЕГЭ база