Отбор корней уравнения: формулы

Из серий корней выбирают те, что лежат на заданном отрезке. Способы: двойное неравенство для целого параметра, единичная окружность, график. Перед отбором учитывают ОДЗ.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: тригонометрия.

• $$a\le x_0+Tk\le b,\ k\in\mathbb{Z}$$серия $x=x_0+Tk$ на отрезке $[a;\,b]$: решают двойное неравенство и берут целые $k$
• $$\dfrac{a-x_0}{T}\le k\le\dfrac{b-x_0}{T}$$то же, выраженное для $k$ (при $T>0$ знаки неравенства сохраняются)
• $$\pi\approx3{,}14,\quad \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57,\quad 2\pi\approx6{,}28,\quad \sqrt2\approx1{,}41,\quad \sqrt3\approx1{,}73$$приближения для оценки границ; точные значения подставляют в ответ
• $$x=x_0+\dfrac{2\pi k}{n}$$серия задаёт на окружности $n$ точек (вершины правильного $n$-угольника); отрезок длиной $2\pi$ содержит ровно $n$ корней серии
• $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$две диаметрально противоположные точки окружности; $x=\pi k$ — тоже две
• $$x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$$серию разбивают: $k=2n$ даёт $\arcsin a+2\pi n$, $k=2n+1$ даёт $\pi-\arcsin a+2\pi n$; отбирают каждую отдельно
• $$x=\pm\arccos a+2\pi k$$две серии, $\arccos a+2\pi k$ и $-\arccos a+2\pi k$, отбирают каждую отдельно
• $$\cos x\ne0,\ \sin x\ne0$$ОДЗ для $\operatorname{tg}x$ и $\operatorname{ctg}x$ и для дробей: корни, где знаменатель равен нулю, отбрасывают
• $$\sin x>0 \iff x\in(2\pi k;\ \pi+2\pi k)$$условие по знаку (из ОДЗ корня или логарифма): корни лежат в I и II четвертях
• $$\cos x>0 \iff x\in\left(-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right)$$корни в I и IV четвертях
• $$\arcsin a<\arcsin b \iff a<b$$арксинус возрастает; арккосинус убывает: $\arccos a<\arccos b \iff a>b$
• $$\sin\alpha=\sin\beta,\ \alpha,\beta\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\Rightarrow\alpha=\beta$$на промежутке монотонности равные значения дают равные углы
• $$x=x_0$$проверка подстановкой: сомнительный корень подставляют в исходное уравнение (особенно после возведения в квадрат и умножения на выражение с $x$)