Сумма и произведение, универсальная подстановка: формулы

Сумму функций превращают в произведение (для разложения на множители) и обратно (для упрощения и понижения степени). Универсальная подстановка выражает всё через $\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}$.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: тригонометрия.

• $$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$сумма синусов
• $$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$$разность синусов
• $$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$сумма косинусов
• $$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$$разность косинусов
• $$\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$$сумма и разность тангенсов, $\cos\alpha\ne0$, $\cos\beta\ne0$
• $$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\big(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\big)$$произведение в сумму
• $$\cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\big)$$произведение косинусов
• $$\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\big)$$произведение синусов
• $$\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2},\ \cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\ \operatorname{tg}\alpha=\dfrac{2t}{1-t^2}$$универсальная подстановка $t=\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}$, $\alpha\ne\pi+2\pi k$ (эти значения проверяют отдельно)
• $$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\varphi)$$вспомогательный угол, $\cos\varphi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
• $$\sin x\pm\cos x=\sqrt2\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}{4}\right)$$частный случай вспомогательного угла
• $$-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le\sqrt{a^2+b^2}$$оценка выражения; уравнение $a\sin x+b\cos x=c$ имеет корни, только если $c^2\le a^2+b^2$
• $$\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac12\sin2\alpha$$частный случай «произведения в сумму»
• $$\cos x+\cos2x+\cos3x=\cos2x\,(1+2\cos x)$$пример: $\cos x+\cos3x=2\cos2x\cos x$