Задание 13 ЕГЭ профиль по математике: уравнения

Формулы к заданию 13

Логарифмы

• $\log_a b=c \iff a^c=b$ — определение, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$
• $a^{\log_a b}=b$ — основное логарифмическое тождество
• $\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$ — частные значения
• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — логарифм произведения, $x>0$, $y>0$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — логарифм частного, $x>0$, $y>0$

Показательные уравнения

• $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ — одинаковые основания, $a>0$, $a\ne1$
• $a^{x}=b \iff x=\log_a b$ — решение простейшего уравнения, $b>0$; при $b\le0$ корней нет
• $a^x>0$ — показательная функция принимает только положительные значения
• $t=a^x,\ t>0$ — замена: уравнение $p\cdot a^{2x}+q\cdot a^x+r=0$ становится квадратным
• $a^{x+c}=a^c\cdot a^x$ — вынесение общего множителя: $3^{x+2}-3^x=8\cdot3^x$

Единичная окружность и радианы

• $\sin\alpha=y,\ \cos\alpha=x$ — координаты точки $(x;\,y)$ единичной окружности $x^2+y^2=1$
• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{y}{x}\ (x\ne0),\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{x}{y}\ (y\ne0)$ — тангенс и котангенс через координаты точки
• $\pi\ \text{рад}=180^\circ,\quad 1\ \text{рад}=\dfrac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ$ — связь радиан и градусов
• $\alpha_{\text{рад}}=\alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180},\quad \alpha^\circ=\alpha_{\text{рад}}\cdot\dfrac{180}{\pi}$ — перевод; $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$, $45^\circ=\dfrac{\pi}{4}$, $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$, $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$
• $l=\alpha R$ — длина дуги окружности радиуса $R$ для угла $\alpha$ в радианах

Тригонометрия: значения и формулы приведения

• $\sin 0=0,\ \sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12,\ \sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \sin\dfrac{\pi}{2}=1$ — значения синуса
• $\cos 0=1,\ \cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12,\ \cos\dfrac{\pi}{2}=0$ — значения косинуса
• $\operatorname{tg}0=0,\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1,\ \operatorname{tg}\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ — значения тангенса; $\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}$ не существует
• $\operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt3,\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{4}=1,\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{ctg}\dfrac{\pi}{2}=0$ — значения котангенса; $\operatorname{ctg}0$ не существует
• $\sin\pi=0,\ \cos\pi=-1,\ \sin\dfrac{3\pi}{2}=-1,\ \cos\dfrac{3\pi}{2}=0,\ \sin2\pi=0,\ \cos2\pi=1$ — значения в точках $\pi$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $2\pi$

Формулы приведения

• $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ — угол $\pi-\alpha$ лежит во II четверти
• $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$ — III четверть
• $\sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha,\ \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$ — IV четверть
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$ — функция меняется на кофункцию
• $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha,\ \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$ — II четверть

Тригонометрические формулы

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — основное тригонометрическое тождество; отсюда $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, знак по четверти
• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$ — тангенс и котангенс, $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$
• $1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ — связь тангенса и косинуса, $\cos\alpha\ne0$
• $1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ — связь котангенса и синуса, $\sin\alpha\ne0$
• $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$ — синус двойного угла

Сумма и произведение, универсальная подстановка

• $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — сумма синусов
• $\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ — разность синусов
• $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — сумма косинусов
• $\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — разность косинусов
• $\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}$ — сумма и разность тангенсов, $\cos\alpha\ne0$, $\cos\beta\ne0$

Арксинус, арккосинус, арктангенс

• $\arcsin a=\alpha \iff \sin\alpha=a,\ \alpha\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ — арксинус, $|a|\le1$
• $\arccos a=\alpha \iff \cos\alpha=a,\ \alpha\in[0;\pi]$ — арккосинус, $|a|\le1$
• $\operatorname{arctg}a=\alpha \iff \operatorname{tg}\alpha=a,\ \alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ — арктангенс, $a\in\mathbb{R}$
• $\operatorname{arcctg}a=\alpha \iff \operatorname{ctg}\alpha=a,\ \alpha\in(0;\pi)$ — арккотангенс, $a\in\mathbb{R}$
• $\arcsin(-a)=-\arcsin a,\quad \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$ — арксинус и арктангенс нечётны

Тригонометрические уравнения

• $\sin x=a \iff x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$ — при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $\sin x=a \iff x=\arcsin a+2\pi k\ \text{или}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k$ — та же серия в виде двух
• $\cos x=a \iff x=\pm\arccos a+2\pi k$ — при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $\operatorname{tg}x=a \iff x=\operatorname{arctg}a+\pi k$ — при любом $a$, $\cos x\ne0$
• $\operatorname{ctg}x=a \iff x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$ — при любом $a$, $\sin x\ne0$

Отбор корней уравнения

• $a\le x_0+Tk\le b,\ k\in\mathbb{Z}$ — серия $x=x_0+Tk$ на отрезке $[a;\,b]$: решают двойное неравенство и берут целые $k$
• $\dfrac{a-x_0}{T}\le k\le\dfrac{b-x_0}{T}$ — то же, выраженное для $k$ (при $T>0$ знаки неравенства сохраняются)
• $\pi\approx3{,}14,\quad \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}57,\quad 2\pi\approx6{,}28,\quad \sqrt2\approx1{,}41,\quad \sqrt3\approx1{,}73$ — приближения для оценки границ; точные значения подставляют в ответ
• $x=x_0+\dfrac{2\pi k}{n}$ — серия задаёт на окружности $n$ точек (вершины правильного $n$-угольника); отрезок длиной $2\pi$ содержит ровно $n$ корней серии
• $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — две диаметрально противоположные точки окружности; $x=\pi k$ — тоже две

Графики и свойства sin, cos, tg, ctg

• $D(\sin)=D(\cos)=\mathbb{R},\quad E(\sin)=E(\cos)=[-1;\,1]$ — область определения и значений синуса и косинуса
• $D(\operatorname{tg})\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\quad D(\operatorname{ctg})\colon x\ne\pi k;\quad E=\mathbb{R}$ — область определения и значений тангенса и котангенса
• $T(\sin)=T(\cos)=2\pi,\quad T(\operatorname{tg})=T(\operatorname{ctg})=\pi$ — наименьшие положительные периоды
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ — гармоника: период $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$, амплитуда $|A|$, множество значений $[B-|A|;\,B+|A|]$
• $T(\operatorname{tg}(\omega x))=\dfrac{\pi}{|\omega|}$ — период тангенса и котангенса с коэффициентом $\omega$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.