Показательные уравнения: формулы

Обе части приводят к одному основанию или делают замену $t=a^x$, помня, что $t>0$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: алгебра.

• $$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$$одинаковые основания, $a>0$, $a\ne1$
• $$a^{x}=b \iff x=\log_a b$$решение простейшего уравнения, $b>0$; при $b\le0$ корней нет
• $$a^x>0$$показательная функция принимает только положительные значения
• $$t=a^x,\ t>0$$замена: уравнение $p\cdot a^{2x}+q\cdot a^x+r=0$ становится квадратным ЕГЭ профиль
• $$a^{x+c}=a^c\cdot a^x$$вынесение общего множителя: $3^{x+2}-3^x=8\cdot3^x$ ЕГЭ профиль
• $$p\,a^{2x}+q\,(ab)^x+r\,b^{2x}=0$$однородное уравнение: делят на $b^{2x}$ и заменяют $t=\left(\frac{a}{b}\right)^x$ ЕГЭ профиль
• $$a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)>g(x)$$неравенство при $a>1$
• $$a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)$$неравенство при $0<a<1$
• $$t+\dfrac{1}{t}\ge2,\ t>0$$равенство только при $t=1$; помогает в уравнениях вида $a^x+a^{-x}=2$ ЕГЭ профиль
• $$a^{f(x)}=1\iff f(x)=0$$при $a>0$, $a\ne1$
• $$a^x=b^x\iff x=0$$при $a>0$, $b>0$, $a\ne b$
• $$4^x=2^{2x},\quad \left(\dfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$$приведение к одному основанию
• $$a>1\Rightarrow\left(a^f\ge1\iff f\ge0\right)$$сравнение степени с единицей ЕГЭ профиль
• $$a^x\uparrow\ (a>1),\quad a^x\downarrow\ (0<a<1)$$показательная функция возрастает при $a>1$ и убывает при $0<a<1$; это определяет знак неравенства