Приближения и среднее: формулы

Числа сравнивают и оценивают, зажимая между известными значениями; очень большие и малые числа записывают в стандартном виде. Среднее арифметическое — сумма, делённая на количество.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$A=a\cdot10^{n},\quad 1\le a<10,\ n\in\mathbb{Z}$$стандартный вид числа; $n$ — порядок числа
• $$3{,}2\cdot10^{4}=32\,000,\quad 5\cdot10^{-3}=0{,}005$$положительный показатель сдвигает запятую вправо, отрицательный — влево
• $$(a\cdot10^{m})(b\cdot10^{n})=ab\cdot10^{m+n}$$произведение; если $ab\ge10$, результат приводят к стандартному виду
• $$10^{m}\cdot10^{n}=10^{m+n},\quad \dfrac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}$$действия со степенями числа 10
• $$\text{если }a\le x\le b,\ c\le y\le d,\ \text{то }a+c\le x+y\le b+d$$оценка суммы
• $$a-d\le x-y\le b-c$$оценка разности: из границ $x$ вычитают противоположные границы $y$
• $$ac\le xy\le bd$$оценка произведения положительных чисел, $a,c>0$
• $$n^{2}<a<(n+1)^{2}\Rightarrow n<\sqrt{a}<n+1$$оценка корня между соседними целыми числами
• $$a<b\iff a^{2}<b^{2}\iff\sqrt{a}<\sqrt{b}$$сравнение неотрицательных чисел, $a\ge0$, $b\ge0$
• $$\sqrt{2}\approx1{,}41,\ \sqrt{3}\approx1{,}73,\ \sqrt{5}\approx2{,}24,\ \sqrt{7}\approx2{,}65,\ \pi\approx3{,}14$$приближённые значения для сравнения чисел
• $$2{,}35\approx2{,}4$$округление до десятых: если первая отбрасываемая цифра $5$ или больше, предыдущую увеличивают на $1$, иначе оставляют
• $$n=\lceil x\rceil$$сколько упаковок, автобусов, билетов нужно: результат округляют вверх до целого
• $$n=\lfloor x\rfloor$$сколько штук можно купить на заданную сумму: результат округляют вниз до целого
• $$\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$$среднее арифметическое $n$ чисел
• $$x_1+\ldots+x_n=n\bar{x}$$по среднему и количеству находят сумму
• $$\dfrac{n\bar{x}+a}{n+1}$$новое среднее после добавления к $n$ числам с средним $\bar{x}$ ещё одного числа $a$
• $$\bar{x}=\dfrac{x_1w_1+\ldots+x_nw_n}{w_1+\ldots+w_n}$$среднее взвешенное с весами $w_i$ (количества, массы, часы)
• $$v_{\text{ср}}=\dfrac{S_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}$$средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей
• $$v_{\text{ср}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$средняя скорость, если половину пути шли со скоростью $v_1$, половину — со скоростью $v_2$