Задание 7 ОГЭ по математике: числа на прямой

ОГЭ по математике · задание 7 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 110 задач этого номера: числовая прямая, степени и корни, неравенства.

Формулы к заданию 7

Приближения и среднее

$A=a\cdot10^{n},\quad 1\le a<10,\ n\in\mathbb{Z}$ — стандартный вид числа; $n$ — порядок числа
$3{,}2\cdot10^{4}=32\,000,\quad 5\cdot10^{-3}=0{,}005$ — положительный показатель сдвигает запятую вправо, отрицательный — влево
$(a\cdot10^{m})(b\cdot10^{n})=ab\cdot10^{m+n}$ — произведение; если $ab\ge10$ , результат приводят к стандартному виду
$10^{m}\cdot10^{n}=10^{m+n},\quad \dfrac{10^{m}}{10^{n}}=10^{m-n}$ — действия со степенями числа 10
$\text{если }a\le x\le b,\ c\le y\le d,\ \text{то }a+c\le x+y\le b+d$ — оценка суммы

Числа и делимость

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ — натуральные, целые, рациональные ( $\frac{m}{n}$ ) и действительные числа
$\sqrt{2},\ \pi$ — иррациональные числа: бесконечные непериодические десятичные дроби; $\sqrt{n}$ рационален только если $n$ — точный квадрат
$a=bq+r,\quad 0\le r<b$ — деление с остатком; $a$ делится на $b$ нацело, если $r=0$
$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}$ — разложение на простые множители (единственное); $1$ не простое и не составное
$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37$ — простые числа, которые стоит помнить

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

На координатной прямой отмечено число $a$ . Какое из следующих утверждений относительно этого числа верно?

$-7 - a < 0$ ; 2) $a - 8 > 0$ ; 3) $a - 5 > 0$ ; 4) $2 - a < 0$ .

В ответе укажите номер верного утверждения.

Подсказки

Определите по рисунку, между какими целыми числами лежит $a$ .
По рисунку $-2 < a < -1$ . Подставьте в каждое утверждение граничные значения.
Например, утверждение $a - 8 > 0$ неверно: проверьте его при $a$ из промежутка $(-2;\ -1)$ . Так же проверьте остальные.

Решение

По рисунку $-2 < a < -1$ . Для всех таких $a$ верно только утверждение $-7 - a < 0$ ; утверждения $a - 8 > 0$ , $a - 5 > 0$ , $2 - a < 0$ неверны. Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое из следующих утверждений верно?

$-a < b$ ; 2) $ab^2 > 0$ ; 3) $a + b < 0$ ; 4) $b - a < 0$ .

В ответе укажите номер верного утверждения.

Подсказки

Определите по рисунку знаки чисел $a$ и $b$ и сравните их модули (расстояния до нуля).
По рисунку $-5 < a < -4$ и $1 < b < 2$ .
Проверьте каждое утверждение: знак суммы определяет число с бо́льшим модулем, произведение и частное положительны только при одинаковых знаках.

Решение

По рисунку $-5 < a < -4$ , $1 < b < 2$ . При таких $a$ и $b$ верно утверждение $a + b < 0$ , а утверждения $-a < b$ , $ab^2 > 0$ , $b - a < 0$ неверны. Ответ: 3.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Расположите в порядке возрастания числа:

$7 - \sqrt{30}$
$12 - \sqrt{73}$
$4 - \sqrt{21}$

В ответе запишите номера чисел без пробелов.

Подсказки

Оцените каждое число: найдите, между какими целыми числами оно лежит.
Если целые части совпадают, сравнивайте дробные части: подставьте приближённые значения корней.
Расположите числа от меньшего к большему и запишите их номера подряд.

Решение

Оценки: 1) $7 - \sqrt{30} \approx 1{,}52$ ; 2) $12 - \sqrt{73} \approx 3{,}46$ ; 3) $4 - \sqrt{21} \approx -0{,}58$ . В порядке возрастания номера идут так: 312. Ответ: 312.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\sqrt{3}$ . Какая это точка?

точка M; 2) точка N; 3) точка P; 4) точка Q.

В ответе укажите номер верного варианта.

Подсказки

Найдите два соседних целых числа, между которыми лежит данное число.
Сравните подкоренное число с квадратами соседних целых: $1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ .
Число лежит между 1 и 2. Найдите точку на этом участке прямой.

Решение

$1 < \sqrt{3} < 2$ , на этом промежутке лежит только точка M. Ответ: 1.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b$ . Какое из следующих утверждений верно?

$|a| > |b|$ ; 2) $b - a < 0$ ; 3) $|a| < |b|$ ; 4) $ab < 0$ .

В ответе укажите номер верного утверждения.

Подсказки

Определите по рисунку знаки чисел $a$ и $b$ и сравните их модули (расстояния до нуля).
По рисунку $-5 < a < -4$ и $-2 < b < -1$ .
Проверьте каждое утверждение: знак суммы определяет число с бо́льшим модулем, произведение и частное положительны только при одинаковых знаках.

Решение

По рисунку $-5 < a < -4$ , $-2 < b < -1$ . При таких $a$ и $b$ верно утверждение $|a| > |b|$ , а утверждения $|a| < |b|$ , $ab < 0$ , $b - a < 0$ неверны. Ответ: 1.

Решить в Telegram