Числа и делимость: формулы

Делимость, остатки, НОД и НОК, чётность — основа задач о свойствах целых чисел. Любое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$натуральные, целые, рациональные ($\frac{m}{n}$) и действительные числа
• $$\sqrt{2},\ \pi$$иррациональные числа: бесконечные непериодические десятичные дроби; $\sqrt{n}$ рационален только если $n$ — точный квадрат
• $$a=bq+r,\quad 0\le r<b$$деление с остатком; $a$ делится на $b$ нацело, если $r=0$
• $$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}$$разложение на простые множители (единственное); $1$ не простое и не составное
• $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37$$простые числа, которые стоит помнить
• $$(k_1+1)(k_2+1)\cdots(k_s+1)$$количество натуральных делителей числа $p_1^{k_1}\cdots p_s^{k_s}$ ЕГЭ профиль
• $$3\mid n\iff 3\mid S(n),\quad 9\mid n\iff 9\mid S(n)$$признаки делимости на $3$ и $9$, $S(n)$ — сумма цифр
• $$n\equiv S(n)\pmod 9$$число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на $9$ (и на $3$)
• $$\overline{ab}=10a+b,\quad \overline{abc}=100a+10b+c$$запись числа цифрами
• $$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=ab$$связь НОД и НОК двух натуральных чисел
• $$\text{НОД}(a,b)=\text{НОД}(b,\,a\bmod b)$$алгоритм Евклида: пока не получится остаток $0$
• $$\text{НОД}$$произведение общих простых множителей в наименьших степенях; $\text{НОК}$ — всех простых множителей в наибольших степенях
• $$\text{НОД}(a,b)=1$$числа взаимно простые; тогда $a\mid bc\Rightarrow a\mid c$
• $$n=2k,\quad n=2k+1,\ k\in\mathbb{Z}$$чётное и нечётное число
• $$(2k+1)^{2}=4k(k+1)+1$$квадрат нечётного числа даёт остаток $1$ при делении на $8$
• $$n(n+1)\ \vdots\ 2,\quad n(n+1)(n+2)\ \vdots\ 6$$произведение последовательных натуральных чисел делится на факториал их количества
• $$(a+b)\bmod m=\big((a\bmod m)+(b\bmod m)\big)\bmod m$$остаток суммы; для произведения — так же ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$n^{2}\bmod 3\in\{0,1\},\quad n^{2}\bmod 4\in\{0,1\},\quad n^{2}\bmod 5\in\{0,1,4\}$$возможные остатки квадратов ЕГЭ профиль
• $$b-a+1$$сколько целых чисел от $a$ до $b$ включительно
• $$2\mid n,\quad 5\mid n,\quad 10\mid n$$признаки: число делится на $2$, если последняя цифра чётная; на $5$ — если она $0$ или $5$; на $10$ — если она $0$
• $$4\mid n,\quad 8\mid n$$число делится на $4$ ($8$), если число из двух (трёх) последних цифр делится на $4$ ($8$)
• $$11\mid n$$число делится на $11$, если разность сумм цифр на нечётных и чётных местах делится на $11$
• $$2^{n}:\ 2,4,8,6,2,\ldots$$последняя цифра степени повторяется с периодом $4$ (для $3$: $3,9,7,1$; для $7$: $7,9,3,1$); для оснований, оканчивающихся на $0,1,5,6$, не меняется ЕГЭ профиль, ЕГЭ база