Задание 19 ЕГЭ база по математике: числа и их свойства

Формулы к заданию 19

Числа и делимость

• $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ — натуральные, целые, рациональные ($\frac{m}{n}$) и действительные числа
• $\sqrt{2},\ \pi$ — иррациональные числа: бесконечные непериодические десятичные дроби; $\sqrt{n}$ рационален только если $n$ — точный квадрат
• $a=bq+r,\quad 0\le r<b$ — деление с остатком; $a$ делится на $b$ нацело, если $r=0$
• $n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_s^{k_s}$ — разложение на простые множители (единственное); $1$ не простое и не составное
• $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37$ — простые числа, которые стоит помнить

Теория чисел: приёмы

• $f\le M\ \text{и пример с } f=M\ \Rightarrow\ \max f=M$ — схема «оценка плюс пример»: нужны обе части, иначе ответ не доказан
• $xy=N\ \Rightarrow\ (d,\ N/d)$ — пары множителей перебирают по делителям $d\le\sqrt{N}$, не забывая про отрицательные при целых $x$, $y$
• $xy+px+qy=c\iff(x+q)(y+p)=c+pq$ — разложение на множители для целых решений
• $a\mid x\ \text{и}\ a\mid y\Rightarrow a\mid(x\pm y)$ — делимость суммы и разности; если $a\mid x$, $a\nmid y$, то $a\nmid(x+y)$
• $x=x_0+\dfrac{b}{d}t,\quad y=y_0-\dfrac{a}{d}t$ — все целые решения $ax+by=c$ по частному решению $(x_0,y_0)$, $d=\text{НОД}(a,b)$, $t\in\mathbb{Z}$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.