Задание 18 ЕГЭ база по математике: неравенства и числовая прямая

ЕГЭ по математике (база) · задание 18 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 85 задач этого номера: неравенства, числовая прямая, степени и корни, логарифмы, дробно-рациональные уравнения.

Формулы к заданию 18

Логарифмы

$\log_a b=c \iff a^c=b$ — определение, $a>0$ , $a\ne1$ , $b>0$
$a^{\log_a b}=b$ — основное логарифмическое тождество
$\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$ — частные значения
$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — логарифм произведения, $x>0$ , $y>0$
$\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — логарифм частного, $x>0$ , $y>0$

Показательные уравнения

$a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ — одинаковые основания, $a>0$ , $a\ne1$
$a^{x}=b \iff x=\log_a b$ — решение простейшего уравнения, $b>0$ ; при $b\le0$ корней нет
$a^x>0$ — показательная функция принимает только положительные значения
$a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)>g(x)$ — неравенство при $a>1$
$a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)$ — неравенство при $0<a<1$

Неравенства и метод интервалов

$a<b \Rightarrow -a>-b$ — при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется
$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)>0$ — метод интервалов: отметить нули и расставить знаки, начиная справа с «+»
$(x-x_0)^2$ — множитель чётной степени не меняет знак при переходе через $x_0$
$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff \begin{cases} f(x)g(x)\ge0,\\ g(x)\ne0 \end{cases}$ — дробное неравенство
$ax^2+bx+c>0,\ a>0,\ D>0$ — решение: $x<x_1$ или $x>x_2$ ; для « $<0$ » — между корнями

Квадратные неравенства

$a>0,\ D>0:\quad f>0\iff x<x_1\ \text{или}\ x>x_2$ — вне корней; для « $\ge$ » корни включают
$a>0,\ D>0:\quad f<0\iff x_1<x<x_2$ — между корнями; для « $\le$ » корни включают
$a>0,\ D=0:\quad f\ge0\ \forall x,\ \ f>0\iff x\ne x_0,\ \ f\le0\iff x=x_0$ — $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ ; неравенство $f<0$ решений не имеет
$a>0,\ D<0:\quad f>0\ \forall x$ — парабола выше оси; неравенства $f\le0$ и $f<0$ решений не имеют
$a<0$ — обе части умножают на $-1$ и меняют знак неравенства, затем используют правила для $a>0$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

Числа	Отрезки
А) $0{,}4^{-1}$	1) $[3;\,4]$
Б) $\sqrt{13}$	2) $[4;\,5]$
В) $\frac{4}{3}$	3) $[2;\,3]$
Г) $\log_{2} 31$	4) $[1;\,2]$

В ответе запишите номера отрезков, соответствующих числам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Для каждого числа найдите два соседних целых числа, между которыми оно лежит.
Корень сравнивайте через квадраты целых чисел, логарифм — через степени основания; у обыкновенной дроби выделите целую часть, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ .
Отрезки в правом столбце имеют длину $1$ и не пересекаются по внутренним точкам — каждому числу подходит ровно один.

Решение

А) $0{,}4^{-1} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ — это вариант 3. Б) $9 < 13 < 16$ , поэтому $3 < \sqrt{13} < 4$ — это вариант 1. В) $\frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$ , поэтому оно между $1$ и $2$ — это вариант 4. Г) $2^{4} = 16 < 31 < 32 = 2^{5}$ , поэтому $4 < \log_{2} 31 < 5$ — это вариант 2. Ответ: 3142.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства	Решения
А) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$	1) $(0;\,9]$
Б) $\log_{3} x \ge 2$	2) $(0;\,\frac{1}{9}]$
В) $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$	3) $[\frac{1}{9};\,+\infty)$
Г) $\log_{3} x \le 2$	4) $[9;\,+\infty)$

В ответе запишите номера решений, соответствующих неравенствам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Логарифм определён только при $x > 0$ . Запишите число справа как логарифм с тем же основанием.
Например, $2 = \log_{3} 9$ , а $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ .
При основании больше $1$ знак неравенства для $x$ сохраняется, при основании меньше $1$ — меняется. Не забудьте ограничение $x > 0$ .

Решение

А) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$ : $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ , основание меньше $1$ , знак меняется; с учётом $x > 0$ получаем $[\frac{1}{9};\,+\infty)$ — это вариант 3. Б) $\log_{3} x \ge 2$ : $2 = \log_{3} 9$ , основание больше $1$ ; с учётом $x > 0$ получаем $[9;\,+\infty)$ — это вариант 4. В) $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$ : $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ , основание меньше $1$ , знак меняется; с учётом $x > 0$ получаем $(0;\,\frac{1}{9}]$ — это вариант 2. Г) $\log_{3} x \le 2$ : $2 = \log_{3} 9$ , основание больше $1$ ; с учётом $x > 0$ получаем $(0;\,9]$ — это вариант 1. Ответ: 3421.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: базовая

Числа	Отрезки
А) $0{,}4^{-1}$	1) $[0;\,1]$
Б) $\sqrt{15}$	2) $[1;\,2]$
В) $\frac{13}{8}$	3) $[2;\,3]$
Г) $\frac{5}{7}$	4) $[3;\,4]$

В ответе запишите номера отрезков, соответствующих числам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Для каждого числа найдите два соседних целых числа, между которыми оно лежит.
Корень сравнивайте через квадраты целых чисел, логарифм — через степени основания; у обыкновенной дроби выделите целую часть, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ .
Отрезки в правом столбце имеют длину $1$ и не пересекаются по внутренним точкам — каждому числу подходит ровно один.

Решение

А) $0{,}4^{-1} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ — это вариант 3. Б) $9 < 15 < 16$ , поэтому $3 < \sqrt{15} < 4$ — это вариант 4. В) $\frac{13}{8} = 1 + \frac{5}{8}$ , поэтому оно между $1$ и $2$ — это вариант 2. Г) $0 < \frac{5}{7} < 1$ , так как числитель меньше знаменателя — это вариант 1. Ответ: 3421.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: средняя

Неравенства	Решения
А) $\dfrac{x}{x - 3} \ge 0$	1) $(-\infty;\,0] \cup (3;\,+\infty)$
Б) $\dfrac{x}{x - 3} \le 0$	2) $[0;\,3]$
В) $x(x - 3) \ge 0$	3) $[0;\,3)$
Г) $x(x - 3) \le 0$	4) $(-\infty;\,0] \cup [3;\,+\infty)$

В ответе запишите номера решений, соответствующих неравенствам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Решайте методом интервалов: отметьте на прямой нули множителей и определите знаки на промежутках.
Нули: $x = 0$ и $x = 3$ . Правее большего корня все множители положительны.
Произведение и частное имеют одинаковые знаки, но у дроби точка, где знаменатель равен нулю, всегда исключается.

Решение

А) $\dfrac{x}{x - 3} \ge 0$ : нуль числителя $0$ , знаменатель обращается в нуль при $x = 3$ (эта точка исключена): $(-\infty;\,0] \cup (3;\,+\infty)$ — это вариант 1. Б) $\dfrac{x}{x - 3} \le 0$ : нуль числителя $0$ , знаменатель обращается в нуль при $x = 3$ (эта точка исключена): $[0;\,3)$ — это вариант 3. В) $x(x - 3) \ge 0$ : корни $0$ и $3$ , произведение положительно вне промежутка между корнями: $(-\infty;\,0] \cup [3;\,+\infty)$ — это вариант 4. Г) $x(x - 3) \le 0$ : корни $0$ и $3$ , произведение отрицательно между корнями: $[0;\,3]$ — это вариант 2. Ответ: 1342.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: базовая

Числа	Отрезки
А) $\sqrt{3}$	1) $[1;\,2]$
Б) $0{,}4^{-1}$	2) $[2;\,3]$
В) $\frac{3}{8}$	3) $[3;\,4]$
Г) $0{,}32^{-1}$	4) $[0;\,1]$

В ответе запишите номера отрезков, соответствующих числам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Для каждого числа найдите два соседних целых числа, между которыми оно лежит.
Корень сравнивайте через квадраты целых чисел, логарифм — через степени основания; у обыкновенной дроби выделите целую часть, $a^{-1} = \frac{1}{a}$ .
Отрезки в правом столбце имеют длину $1$ и не пересекаются по внутренним точкам — каждому числу подходит ровно один.

Решение

А) $1 < 3 < 4$ , поэтому $1 < \sqrt{3} < 2$ — это вариант 1. Б) $0{,}4^{-1} = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5$ — это вариант 2. В) $0 < \frac{3}{8} < 1$ , так как числитель меньше знаменателя — это вариант 4. Г) $0{,}32^{-1} = \frac{1}{0{,}32} = 3{,}125$ — это вариант 3. Ответ: 1243.

Решить в Telegram