Неравенства и метод интервалов: формулы

Неравенство переносят в одну сторону, раскладывают на множители и расставляют знаки на числовой прямой между нулями множителей.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$a<b \Rightarrow -a>-b$$при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется
• $$(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)>0$$метод интервалов: отметить нули и расставить знаки, начиная справа с «+»
• $$(x-x_0)^2$$множитель чётной степени не меняет знак при переходе через $x_0$
• $$\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff \begin{cases} f(x)g(x)\ge0,\\ g(x)\ne0 \end{cases}$$дробное неравенство
• $$ax^2+bx+c>0,\ a>0,\ D>0$$решение: $x<x_1$ или $x>x_2$; для «$<0$» — между корнями
• $$|x|<a \iff -a<x<a$$модуль меньше числа, $a>0$
• $$|x|>a \iff x<-a\ \text{или}\ x>a$$модуль больше числа, $a\ge0$
• $$a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)>g(x)$$показательное неравенство при $a>1$; при $0<a<1$ знак меняется ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\operatorname{sign}\left(\log_a f-\log_a g\right)=\operatorname{sign}\left((a-1)(f-g)\right)$$метод рационализации: верно на ОДЗ ($f>0$, $g>0$, $a>0$, $a\ne1$) ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, $a\ge0$, $b\ge0$