Задание 20 ОГЭ по математике: алгебраические выражения

Формулы к заданию 20

Модуль

• $|a|=\begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0\end{cases}$ — определение модуля
• $|a|\ge0,\quad |a|=0\iff a=0$ — модуль неотрицателен
• $|ab|=|a||b|,\quad \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ — модуль произведения и частного, $b\ne0$
• $|a|^{2}=a^{2},\quad \sqrt{a^{2}}=|a|$ — квадрат и корень из квадрата
• $|x-a|$ — расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой; $|x-a|=b\iff x=a\pm b$ при $b\ge0$

Линейные уравнения и системы

• $ax=b,\ a\ne0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{b}{a}$ — единственный корень
• $0\cdot x=b$ — при $b=0$ корнем является любое число, при $b\ne0$ корней нет
• $\dfrac{ax+b}{c}=d\iff ax+b=cd$ — умножение на знаменатель, $c\ne0$
• $af=ag\iff f=g$ — обе части можно делить на число $a\ne0$; слагаемые переносят из части в часть с противоположным знаком
• $ax>b$ — при $a>0$: $x>\dfrac{b}{a}$; при $a<0$: $x<\dfrac{b}{a}$ (знак меняется)

ФСУ и преобразования

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ — квадрат суммы
• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ — квадрат разности
• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — разность квадратов
• $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ — куб суммы
• $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ — куб разности

Квадратные уравнения

• $D=b^2-4ac$ — дискриминант
• $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ — корни при $D\ge0$; при $D<0$ корней нет
• $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$ — формула для чётного коэффициента $b=2k$
• $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ — теорема Виета
• $x^2=m \iff x=\pm\sqrt{m}$ — неполное уравнение, $m\ge0$

Дробные и иррациональные уравнения

• $\dfrac{f}{g}=0\iff\begin{cases} f=0,\\ g\ne0\end{cases}$ — дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет
• $\dfrac{f}{g}=\dfrac{h}{k}\iff fk=gh,\ g\ne0,\ k\ne0$ — пропорция («крест-накрест»)
• $\dfrac{f}{g}=\dfrac{f}{h}\iff f=0\ \text{или}\ g=h$ — при $g\ne0$, $h\ne0$; делить на $f$ нельзя: потеряется корень $f=0$
• $\dfrac{x+a}{x-b}=1+\dfrac{a+b}{x-b}$ — выделение целой части в дробно-линейном выражении, $x\ne b$
• $t=\dfrac{f}{g},\quad \dfrac{g}{f}=\dfrac{1}{t}$ — замена в уравнении вида $t+\dfrac{1}{t}=a$, сводится к $t^{2}-at+1=0$

Неравенства и метод интервалов

• $a<b \Rightarrow -a>-b$ — при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется
• $(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)>0$ — метод интервалов: отметить нули и расставить знаки, начиная справа с «+»
• $(x-x_0)^2$ — множитель чётной степени не меняет знак при переходе через $x_0$
• $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff \begin{cases} f(x)g(x)\ge0,\\ g(x)\ne0 \end{cases}$ — дробное неравенство
• $ax^2+bx+c>0,\ a>0,\ D>0$ — решение: $x<x_1$ или $x>x_2$; для «$<0$» — между корнями

Квадратные неравенства

• $a>0,\ D>0:\quad f>0\iff x<x_1\ \text{или}\ x>x_2$ — вне корней; для «$\ge$» корни включают
• $a>0,\ D>0:\quad f<0\iff x_1<x<x_2$ — между корнями; для «$\le$» корни включают
• $a>0,\ D=0:\quad f\ge0\ \forall x,\ \ f>0\iff x\ne x_0,\ \ f\le0\iff x=x_0$ — $x_0=-\dfrac{b}{2a}$; неравенство $f<0$ решений не имеет
• $a>0,\ D<0:\quad f>0\ \forall x$ — парабола выше оси; неравенства $f\le0$ и $f<0$ решений не имеют
• $a<0$ — обе части умножают на $-1$ и меняют знак неравенства, затем используют правила для $a>0$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.