Дробные и иррациональные уравнения: формулы

Дробное уравнение приводят к целому, умножая на общий знаменатель, и отбрасывают корни, обращающие знаменатель в нуль. Иррациональное уравнение возводят в степень с условием неотрицательности или проверяют корни подстановкой.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$\dfrac{f}{g}=0\iff\begin{cases} f=0,\\ g\ne0\end{cases}$$дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет
• $$\dfrac{f}{g}=\dfrac{h}{k}\iff fk=gh,\ g\ne0,\ k\ne0$$пропорция («крест-накрест»)
• $$\dfrac{f}{g}=\dfrac{f}{h}\iff f=0\ \text{или}\ g=h$$при $g\ne0$, $h\ne0$; делить на $f$ нельзя: потеряется корень $f=0$
• $$\dfrac{x+a}{x-b}=1+\dfrac{a+b}{x-b}$$выделение целой части в дробно-линейном выражении, $x\ne b$
• $$t=\dfrac{f}{g},\quad \dfrac{g}{f}=\dfrac{1}{t}$$замена в уравнении вида $t+\dfrac{1}{t}=a$, сводится к $t^{2}-at+1=0$
• $$f\cdot g=0\iff f=0\ \text{или}\ g=0$$при условии, что оба множителя определены
• $$x^{n}=a$$при нечётном $n$ один корень $\sqrt[n]{a}$; при чётном $n$ и $a>0$ два корня $\pm\sqrt[n]{a}$, при $a<0$ корней нет ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt{f}=a\iff f=a^{2},\ a\ge0$$простейшее иррациональное уравнение
• $$\sqrt{f}=g\iff\begin{cases} f=g^{2},\\ g\ge0\end{cases}$$условие $f\ge0$ выполняется автоматически
• $$\sqrt{f}=\sqrt{g}\iff\begin{cases} f=g,\\ g\ge0\end{cases}$$достаточно проверить неотрицательность одной из частей
• $$\sqrt{f}=-a,\ a>0$$корней нет: арифметический корень неотрицателен
• $$\sqrt{f}+\sqrt{g}=0\iff f=g=0$$сумма неотрицательных равна нулю
• $$A^{2}+B^{2}=0\iff A=B=0$$сумма квадратов равна нулю
• $$\sqrt[3]{f}=g\iff f=g^{3}$$корень нечётной степени: ограничений на знак нет ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$t=\sqrt{f}\ge0$$замена в иррациональном уравнении; после решения проверяют $t\ge0$
• $$f=g\Rightarrow f^{2}=g^{2}$$возведение в чётную степень — преобразование неравносильное (обратно неверно): появляются посторонние корни, поэтому нужны условие неотрицательности или проверка подстановкой
• $$f\ge M,\ g\le M\Rightarrow(f=g\iff f=g=M)$$метод оценки: равенство возможно, только если обе части равны $M$ ЕГЭ профиль