Дроби и пропорции: формулы

Дробь — это деление: $\frac{a}{b}=a:b$. Все действия с дробями основаны на основном свойстве: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak}{bk}$$основное свойство дроби, $b\ne0$, $k\ne0$; на нём держатся сокращение и приведение к общему знаменателю
• $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}$$сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$$с разными знаменателями; удобнее брать общий знаменатель, равный НОК$(b,d)$
• $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$$умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель
• $$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$$деление, $c\ne0$
• $$a\dfrac{b}{c}=\dfrac{ac+b}{c}$$смешанное число в неправильную дробь, $c\ne0$
• $$a=bq+r,\quad \dfrac{a}{b}=q+\dfrac{r}{b}$$выделение целой части, $0\le r<b$; $\dfrac{17}{5}=3\dfrac{2}{5}$
• $$\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}\iff ad<bc$$сравнение дробей при $b>0$, $d>0$
• $$0<a<b\Rightarrow \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}$$из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше
• $$\dfrac{1}{2}=0{,}5,\ \dfrac{1}{4}=0{,}25,\ \dfrac{3}{4}=0{,}75,\ \dfrac{1}{5}=0{,}2,\ \dfrac{1}{8}=0{,}125$$полезно помнить наизусть
• $$a\cdot 10^{k}$$умножение на $10^k$ сдвигает запятую вправо на $k$ знаков, деление на $10^k$ — влево
• $$a:0{,}1=10a,\quad a:0{,}01=100a$$деление на десятичную дробь
• $$2{,}4\cdot0{,}35=0{,}84$$умножение десятичных: считают как целые, а в результате отделяют столько знаков, сколько их всего в обоих множителях
• $$0{,}(a)=\dfrac{a}{9},\quad 0{,}(ab)=\dfrac{\overline{ab}}{99}$$перевод чисто периодической дроби в обыкновенную, $a$ и $b$ — цифры ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\iff ad=bc$$основное свойство пропорции, $b\ne0$, $d\ne0$ (произведение крайних равно произведению средних)
• $$a:b=c:x\ \Rightarrow\ x=\dfrac{bc}{a}$$неизвестный член пропорции, $a\ne0$
• $$y=kx,\quad \dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}$$прямая пропорциональность: величины растут (убывают) в одно и то же число раз
• $$xy=k,\quad x_1y_1=x_2y_2$$обратная пропорциональность: при росте одной величины в $n$ раз другая убывает в $n$ раз
• $$\dfrac{a}{b}\cdot N$$часть $\dfrac{a}{b}$ от числа $N$; число по его части $A$ находят делением: $N=A:\dfrac{a}{b}$
• $$\dfrac{a}{b}\cdot100\%$$сколько процентов число $a$ составляет от числа $b$, $b\ne0$
• $$\text{масштаб}=\dfrac{\text{длина на карте}}{\text{длина на местности}}$$при масштабе $1:100\,000$ один сантиметр на карте равен одному километру на местности ЕГЭ база, ОГЭ