Логарифмы: формулы

Логарифм — показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число. В уравнениях и неравенствах сначала записывают ОДЗ.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: алгебра.

• $$\log_a b=c \iff a^c=b$$определение, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$
• $$a^{\log_a b}=b$$основное логарифмическое тождество
• $$\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$$частные значения
• $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$логарифм произведения, $x>0$, $y>0$
• $$\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$логарифм частного, $x>0$, $y>0$
• $$\log_a x^p=p\log_a x$$показатель степени выносится множителем, $x>0$
• $$\log_{a^k} x=\dfrac{1}{k}\log_a x$$степень основания, $k\ne0$
• $$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$$переход к новому основанию
• $$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$$перестановка основания и аргумента, $b\ne1$
• $$\log_a f(x)=\log_a g(x) \iff f(x)=g(x)>0$$равносильный переход в уравнении
• $$\log_a f(x)>\log_a g(x) \iff f(x)>g(x)>0$$неравенство при $a>1$; при $0<a<1$ знак между $f$ и $g$ меняется
• $$\lg b=\log_{10}b,\quad \ln b=\log_e b$$десятичный и натуральный логарифмы
• $$\log_a f(x)=c\iff f(x)=a^c$$решение простейшего уравнения; ОДЗ при этом выполняется автоматически
• $$\log_a b\cdot\log_b c=\log_a c$$цепочка логарифмов, $a,b,c>0$, $a\ne1$, $b\ne1$ ЕГЭ профиль
• $$a^{\log_b c}=c^{\log_b a}$$$a>0$, $c>0$, $b>0$, $b\ne1$ ЕГЭ профиль
• $$\log_a b=\log_{a^n}b^n$$одновременное возведение основания и аргумента в степень $n\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$\log_a\dfrac{1}{x}=-\log_a x,\quad \log_{\frac{1}{a}}b=-\log_a b$$логарифм обратной величины и обратное основание ЕГЭ профиль
• $$\log_a x^{2k}=2k\log_a|x|$$чётная степень выносится с модулем, $x\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$\log_a(xy)=\log_a|x|+\log_a|y|$$для произведения $xy>0$ при отрицательных $x$ и $y$ ЕГЭ профиль
• $$f>0,\ h>0,\ h\ne1$$ОДЗ для $\log_{h(x)}f(x)$ ЕГЭ профиль
• $$t=\log_a x$$замена в уравнениях вида $\log_a^2x+p\log_a x+q=0$, возврат $x=a^t$ ЕГЭ профиль
• $$\log_a x\uparrow\ (a>1),\quad \log_a x\downarrow\ (0<a<1)$$монотонность логарифма