Задание 15 ЕГЭ профиль по математике: неравенства

Формулы к заданию 15

Модуль

• $|a|=\begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0\end{cases}$ — определение модуля
• $|a|\ge0,\quad |a|=0\iff a=0$ — модуль неотрицателен
• $|ab|=|a||b|,\quad \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ — модуль произведения и частного, $b\ne0$
• $|a|^{2}=a^{2},\quad \sqrt{a^{2}}=|a|$ — квадрат и корень из квадрата
• $|x-a|$ — расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой; $|x-a|=b\iff x=a\pm b$ при $b\ge0$

Логарифмы

• $\log_a b=c \iff a^c=b$ — определение, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$
• $a^{\log_a b}=b$ — основное логарифмическое тождество
• $\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$ — частные значения
• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — логарифм произведения, $x>0$, $y>0$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — логарифм частного, $x>0$, $y>0$

Показательные уравнения

• $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ — одинаковые основания, $a>0$, $a\ne1$
• $a^{x}=b \iff x=\log_a b$ — решение простейшего уравнения, $b>0$; при $b\le0$ корней нет
• $a^x>0$ — показательная функция принимает только положительные значения
• $t=a^x,\ t>0$ — замена: уравнение $p\cdot a^{2x}+q\cdot a^x+r=0$ становится квадратным
• $a^{x+c}=a^c\cdot a^x$ — вынесение общего множителя: $3^{x+2}-3^x=8\cdot3^x$

Неравенства и метод интервалов

• $a<b \Rightarrow -a>-b$ — при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется
• $(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)>0$ — метод интервалов: отметить нули и расставить знаки, начиная справа с «+»
• $(x-x_0)^2$ — множитель чётной степени не меняет знак при переходе через $x_0$
• $\dfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \iff \begin{cases} f(x)g(x)\ge0,\\ g(x)\ne0 \end{cases}$ — дробное неравенство
• $ax^2+bx+c>0,\ a>0,\ D>0$ — решение: $x<x_1$ или $x>x_2$; для «$<0$» — между корнями

Квадратные неравенства

• $a>0,\ D>0:\quad f>0\iff x<x_1\ \text{или}\ x>x_2$ — вне корней; для «$\ge$» корни включают
• $a>0,\ D>0:\quad f<0\iff x_1<x<x_2$ — между корнями; для «$\le$» корни включают
• $a>0,\ D=0:\quad f\ge0\ \forall x,\ \ f>0\iff x\ne x_0,\ \ f\le0\iff x=x_0$ — $x_0=-\dfrac{b}{2a}$; неравенство $f<0$ решений не имеет
• $a>0,\ D<0:\quad f>0\ \forall x$ — парабола выше оси; неравенства $f\le0$ и $f<0$ решений не имеют
• $a<0$ — обе части умножают на $-1$ и меняют знак неравенства, затем используют правила для $a>0$

Показательные и логарифмические неравенства

• $a^{f}>b,\ b\le0$ — верно при всех допустимых $x$; $a^{f}<b,\ b\le0$ — решений нет
• $t=a^{x}>0$ — замена: неравенство относительно $t$ решают с учётом $t>0$, затем возвращаются к $x$
• $f>0,\ g>0,\ a>0,\ a\ne1$ — ОДЗ: условия для $\log_a f$ и $\log_a g$
• $\log_a x^{2}=2\log_a|x|$ — при вынесении чётной степени ставят модуль, иначе теряются решения с $x<0$
• $t=\log_a x$ — замена в неравенствах вида $\log_a^{2}x+p\log_a x+q>0$; возврат: $x=a^{t}>0$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.