Задание 16 ЕГЭ профиль по математике: финансовая задача

ЕГЭ по математике (профиль) · задание 16 · часть 2, развёрнутое решение · до 2 баллов. В банке «Корень» — 15 задач этого номера: финансовая математика, неравенства, наибольшее и наименьшее значение, проценты, квадратные уравнения, квадратичная функция.

Формулы к заданию 16

Финансовая математика

$k=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент начисления: сумма за период увеличивается в $k$ раз
$S_n=S\cdot k^{n}$ — вклад $S$ без пополнений за $n$ периодов (сложные проценты)
$S_n=Sk^{n}+X\,\dfrac{k^{n}-1}{k-1}$ — вклад с взносом $X$ в конце каждого периода после начисления процентов
$1+k+k^{2}+\ldots+k^{n-1}=\dfrac{k^{n}-1}{k-1}$ — сумма геометрической прогрессии, $k\ne1$
$S_1=Sk-X,\quad S_2=Sk^{2}-X(k+1)$ — кредит: долг умножают на $k$ , затем вычитают платёж $X$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: средняя

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2 360 000 рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Подсказки

Долг уменьшается равномерно: каждый месяц он становится меньше на одну и ту же часть первоначальной суммы $S$ .
Каждая выплата состоит из начисленных процентов и равной доли $\frac{S}{11}$ ; запишите долг на 15-е число каждого месяца.
Проценты начисляются на суммы $S,\ \frac{10S}{11},\ \ldots,\ \frac{S}{11}$ ; сложите их как арифметическую прогрессию и приравняйте общую сумму выплат к данной.

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$ рублей. По условию долг на 15-е число уменьшается каждый месяц на одну и ту же величину и через 11 месяцев становится равным нулю, поэтому на 15-е число $k$ -го месяца после взятия кредита ( $k = 0, 1, \ldots, 11$ ) долг равен

$S_k = \frac{(11-k)S}{11}.$

В $k$ -м месяце ( $k = 1, \ldots, 11$ ) долг $S_{k-1}$ возрастает на $3\%$ , а затем выплачивается сумма

$x_k = 1{,}03\,S_{k-1} - S_k = 0{,}03\,S_{k-1} + \frac{S}{11}.$

Общая сумма выплат:

$\sum_{k=1}^{11} x_k = S + 0{,}03\left(S_0 + S_1 + \ldots + S_{10}\right) = S + 0{,}03\cdot\frac{S}{11}\,(11 + 10 + \ldots + 1) = S + 0{,}03\cdot\frac{S}{11}\cdot 66 = 1{,}18\,S.$

По условию $1{,}18\,S = 2\,360\,000$ , откуда $S = 2\,000\,000$ .

Ответ: 2 000 000 рублей.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

15 января планируется взять кредит в банке на 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца, где $r$ — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Дата (15-е число)} & \text{янв.} & \text{февр.} & \text{март} & \text{апр.} & \text{май} & \text{июнь} & \text{июль} \\ \hline \text{Долг, млн руб.} & 1 & 0{,}6 & 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0 \\ \hline\end{array}$

Найдите наибольшее значение $r$ , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Подсказки

Выплата в каждом месяце равна долгу после начисления процентов минус долг на 15-е число этого месяца.
При сложении всех выплат долги на 15-е число сокращаются, и остаются сумма кредита и начисленные проценты.
Проценты начисляются на суммы $1;\ 0{,}6;\ 0{,}5;\ 0{,}4;\ 0{,}3;\ 0{,}2$ млн рублей; составьте неравенство и найдите наибольшее целое $r$ .

Решение

Обозначим долг на 15-е число по таблице через $D_0 = 1$ , $D_1 = 0{,}6$ , $D_2 = 0{,}5$ , $D_3 = 0{,}4$ , $D_4 = 0{,}3$ , $D_5 = 0{,}2$ , $D_6 = 0$ (в млн рублей). В $k$ -м месяце долг $D_{k-1}$ увеличивается в $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$ раз, после чего выплачивается сумма

$x_k = \left(1 + \frac{r}{100}\right)D_{k-1} - D_k = D_{k-1} - D_k + \frac{r}{100}\,D_{k-1}.$

Общая сумма выплат:

$\sum_{k=1}^{6} x_k = (D_0 - D_6) + \frac{r}{100}\,(D_0 + D_1 + \ldots + D_5) = 1 + \frac{r}{100}\cdot 3 = 1 + 0{,}03r.$

Сумма выплат меньше 1,2 млн рублей, если $1 + 0{,}03r < 1{,}2$ , то есть $r < \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ . Наибольшее целое $r$ , удовлетворяющее этому неравенству, равно 6 (при $r = 6$ сумма выплат равна $1{,}18$ млн рублей, а при $r = 7$ — уже $1{,}21$ млн рублей).

Ответ: 6.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

В июле 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $r$ , если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 530 тыс. рублей.

Подсказки

Долг каждый год уменьшается на одну и ту же сумму; запишите долг на июль каждого года.
Общая сумма выплат равна сумме кредита плюс все начисленные проценты, а проценты каждый январь начисляются на долг на июль предыдущего года.
Проценты начисляются на суммы $900,\ 750,\ \ldots,\ 150$ тыс. рублей; составьте уравнение относительно $r$ .

Решение

Долг на июль уменьшается каждый год на одну и ту же сумму и через 6 лет становится равным нулю, поэтому он уменьшается на $\frac{900}{6} = 150$ тыс. рублей в год. Долг на июль (в тыс. рублей) по годам равен

$900,\ 750,\ 600,\ 450,\ 300,\ 150,\ 0.$

Каждый январь долг увеличивается на $\frac{r}{100}$ долга на июль предыдущего года, а выплата за год равна начисленным процентам плюс 150 тыс. рублей. Значит, общая сумма выплат (в тыс. рублей) равна

$900 + \frac{r}{100}\,(900 + 750 + 600 + 450 + 300 + 150) = 900 + \frac{r}{100}\cdot 3150 = 900 + 31{,}5\,r.$

По условию $900 + 31{,}5\,r = 1530$ , откуда $31{,}5\,r = 630$ и $r = 20$ .

Ответ: 20.

Решить в Telegram