Финансовая математика: формулы

Начисление $r\%$ на долг или вклад — умножение на $k=1+\frac{r}{100}$. Платежи вычитают из долга, а остатки по периодам выписывают цепочкой и применяют формулы прогрессий.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: алгебра.

• $$k=1+\dfrac{r}{100}$$коэффициент начисления: сумма за период увеличивается в $k$ раз
• $$S_n=S\cdot k^{n}$$вклад $S$ без пополнений за $n$ периодов (сложные проценты)
• $$S_n=Sk^{n}+X\,\dfrac{k^{n}-1}{k-1}$$вклад с взносом $X$ в конце каждого периода после начисления процентов
• $$1+k+k^{2}+\ldots+k^{n-1}=\dfrac{k^{n}-1}{k-1}$$сумма геометрической прогрессии, $k\ne1$
• $$S_1=Sk-X,\quad S_2=Sk^{2}-X(k+1)$$кредит: долг умножают на $k$, затем вычитают платёж $X$
• $$Sk^{n}-X\,\dfrac{k^{n}-1}{k-1}$$остаток долга после $n$ равных платежей $X$
• $$X=\dfrac{Sk^{n}(k-1)}{k^{n}-1}$$аннуитетный (равный) платёж, при котором кредит $S$ погашен за $n$ платежей
• $$nX-S$$переплата по кредиту с равными платежами
• $$S,\ S-\dfrac{S}{n},\ S-\dfrac{2S}{n},\ \ldots$$при дифференцированных платежах долг уменьшается на одну и ту же величину $\dfrac{S}{n}$ (арифметическая прогрессия)
• $$\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{S(n-i+1)}{n}$$проценты в $i$-м периоде при дифференцированных платежах
• $$\dfrac{S}{n}+\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{S(n-i+1)}{n}$$$i$-й платёж: доля основного долга плюс проценты на остаток
• $$\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{S(n+1)}{2}$$сумма всех процентов за $n$ периодов; общая выплата $S+\dfrac{r}{100}\cdot\dfrac{S(n+1)}{2}$
• $$S\,k_1k_2\cdots k_n$$ставка меняется по периодам: коэффициенты перемножают
• $$\text{разность долгов}=\text{платёж}-\text{проценты}$$сколько основного долга погашено за период
• $$n\in\mathbb{N}$$если ответ «наименьшее (наибольшее) число лет, сумма и т.д.», решают неравенство для $n$ или $X$ и берут ближайшее подходящее целое