Степени и корни: формулы

Свойства степеней с целым и рациональным показателем и арифметических корней — основа вычислений и упрощения выражений.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$при умножении степеней с одним основанием показатели складываются
• $$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$при делении показатели вычитаются, $a\ne0$
• $$(a^m)^n=a^{mn}$$степень степени
• $$(ab)^n=a^n b^n,\quad \left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$степень произведения и частного
• $$a^0=1,\quad a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$$нулевой и отрицательный показатель, $a\ne0$
• $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$рациональный показатель, $a>0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt{a^2}=|a|$$корень из квадрата равен модулю
• $$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$$корень из произведения, $a\ge0$, $b\ge0$
• $$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$корень из частного, $a\ge0$, $b>0$
• $$(\sqrt{a})^2=a$$квадрат корня, $a\ge0$
• $$\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$избавление от иррациональности в знаменателе
• $$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$$отрицательный показатель переворачивает дробь, $a\ne0$, $b\ne0$
• $$(a^m)^n=(a^n)^m$$порядок возведения в степень можно менять
• $$\sqrt{a}=b\iff b^2=a,\ b\ge0$$арифметический квадратный корень неотрицателен
• $$\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$$вынесение множителя из-под корня, $a\ge0$, $b\ge0$; $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
• $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$$внесение множителя под корень, $a\ge0$
• $$a\sqrt{c}\pm b\sqrt{c}=(a\pm b)\sqrt{c}$$сложение подобных корней
• $$\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$$избавление от корня в знаменателе, $b>0$
• $$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$домножение на сопряжённое, $a\ne b$
• $$\sqrt{a+b\pm2\sqrt{ab}}=\left|\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\right|$$«двойной» корень как полный квадрат, $a\ge0$, $b\ge0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a$$корень $n$-й степени; при чётном $n$ берут $a\ge0$, $b\ge0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases} a, & n\ \text{нечётно},\\ |a|, & n\ \text{чётно}\end{cases}$$корень из $n$-й степени ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$свойства корней $n$-й степени, $a\ge0$, $b\ge0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[nk]{a^{mk}}$$степень под корнем, $a\ge0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{m/n}}$$отрицательный рациональный показатель, $a>0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$a>1:\ a^m<a^n\iff m<n;\quad 0<a<1:\ a^m<a^n\iff m>n$$сравнение степеней с одним основанием ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$0<a<b\Rightarrow a^n<b^n$$сравнение степеней с одним показателем $n>0$
• $$11^2=121,\ 12^2=144,\ 13^2=169,\ 14^2=196,\ 15^2=225$$квадраты, которые полезно помнить
• $$2^{10}=1024,\ 3^3=27,\ 4^3=64,\ 5^3=125,\ 6^3=216,\ 7^3=343,\ 9^3=729$$степени, которые полезно помнить