Модуль: формулы

Модуль числа — его расстояние до нуля на числовой прямой. Уравнения и неравенства с модулем решают равносильными переходами или раскрытием модуля по промежуткам знакопостоянства.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$|a|=\begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0\end{cases}$$определение модуля
• $$|a|\ge0,\quad |a|=0\iff a=0$$модуль неотрицателен
• $$|ab|=|a||b|,\quad \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$$модуль произведения и частного, $b\ne0$
• $$|a|^{2}=a^{2},\quad \sqrt{a^{2}}=|a|$$квадрат и корень из квадрата
• $$|x-a|$$расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой; $|x-a|=b\iff x=a\pm b$ при $b\ge0$
• $$|f|=a\iff f=\pm a$$при $a>0$; при $a<0$ корней нет
• $$|f|=|g|\iff f=\pm g\iff f^{2}=g^{2}$$равенство модулей
• $$|f|=g\iff\begin{cases} g\ge0,\\ f=\pm g\end{cases}$$модуль равен выражению
• $$|x|<a\iff -a<x<a$$при $a>0$; при $a\le0$ решений нет
• $$|x|>a\iff x<-a\ \text{или}\ x>a$$при $a>0$; при $a<0$ верно для всех $x$
• $$|f|<g\iff -g<f<g$$модуль меньше выражения (подразумевается $g>0$)
• $$|f|>g\iff f>g\ \text{или}\ f<-g$$модуль больше выражения
• $$|f|>|g|\iff f^{2}>g^{2}\iff(f-g)(f+g)>0$$сравнение модулей, метод рационализации ЕГЭ профиль
• $$|a+b|\le|a|+|b|$$неравенство треугольника; равенство при $ab\ge0$
• $$|a|-|b|\le|a-b|$$следствие неравенства треугольника
• $$|f|+|g|=0\iff f=0\ \text{и}\ g=0$$сумма неотрицательных равна нулю
• $$|x-a|+|x-b|\ge|a-b|$$наименьшее значение достигается при $x$ между $a$ и $b$ ЕГЭ профиль
• $$x_1<x_2<\ldots<x_n$$нули подмодульных выражений разбивают прямую на промежутки; на каждом знак выражений известен, модули раскрывают, а найденные корни проверяют на принадлежность промежутку