Задание 18 ЕГЭ профиль по математике: параметр

Так как $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, уравнение имеет вид

$$|x-1|\cdot|x-3|=a(x-1).$$

При $x=1$ обе части равны нулю, поэтому $x=1$ — корень при любом $a$. Найдём остальные корни, то есть корни, отличные от $1$.

1. $x>1$. Тогда $|x-1|=x-1>0$, и уравнение равносильно $|x-3|=a$.

При $a<0$ решений нет. При $a=0$ получаем $x=3$, и $3>1$. При $a>0$ получаем $x=3+a$ и $x=3-a$; число $3+a>1$ подходит всегда, число $3-a$ подходит при $3-a>1$, то есть при $a<2$. При $a>0$ эти числа различны.

2. $x<1$. Тогда $|x-1|=1-x>0$ и $|x-3|=3-x$, уравнение равносильно $(1-x)(3-x)=-(1-x)a$, то есть $3-x=-a$, $x=3+a$. Условие $x<1$ выполняется при $a<-2$.

Подсчитаем число различных корней (корни из пунктов 1 и 2 лежат в разных промежутках и отличны от $1$):

при $a<-2$ — корни $1$ и $3+a$, их два;

при $-2\le a<0$ — только корень $1$;

при $a=0$ — корни $1$ и $3$, их два;

при $0<a<2$ — корни $1$, $3+a$, $3-a$, их три;

при $a\ge2$ — корни $1$ и $3+a$, их два.

Геометрически: правая часть задаёт прямые, проходящие через точку $(1;\ 0)$ графика $y=\left|x^2-4x+3\right|$; значения $a=\pm2$ — угловые коэффициенты касательных к ветвям графика в этой точке.

Ответ: $a\in(-\infty;\ -2)\cup\{0\}\cup[2;\ +\infty)$.

Уравнение определено при $x>-1$. При таких $x$ произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей:

$$x=2a,\qquad x=3-a,\qquad \ln(x+1)=0\iff x=0.$$

Значит, корни уравнения — это те из чисел $0$, $2a$, $3-a$, которые больше $-1$ (совпадающие числа считаются одним корнем).

Число $x=0$ является корнем при любом $a$.

Число $x=2a$ является корнем тогда и только тогда, когда $2a>-1$, то есть $a>-\frac{1}{2}$.

Число $x=3-a$ является корнем тогда и только тогда, когда $3-a>-1$, то есть $a<4$.

Совпадения кандидатов: $2a=0$ при $a=0$; $3-a=0$ при $a=3$; $2a=3-a$ при $a=1$ (тогда $2a=3-a=2\ne0$). При каждом из значений $a=0$, $a=1$, $a=3$ совпадают ровно два кандидата.

Рассмотрим случаи.

1. $a\le-\frac{1}{2}$. Тогда $2a\le-1$ — не корень, а $3-a\ge\frac{7}{2}$ — корень, отличный от $0$. Корней ровно два: $0$ и $3-a$.

2. $-\frac{1}{2}<a<4$. Все три числа $0$, $2a$, $3-a$ больше $-1$ и являются корнями. Корней ровно два, если среди них есть совпадающие, то есть при $a\in\{0;\ 1;\ 3\}$; при остальных $a$ из этого промежутка корней три.

3. $a\ge4$. Тогда $3-a\le-1$ — не корень, а $2a\ge8$ — корень, отличный от $0$. Корней ровно два: $0$ и $2a$.

Ответ: $a\in\left(-\infty;\ -\frac{1}{2}\right]\cup\{0;\ 1;\ 3\}\cup[4;\ +\infty)$.

Пусть $f(x)=x^2-2ax+4a-3$. Тогда $$f(0)=4a-3,\qquad f(3)=9-6a+4a-3=6-2a,\qquad \frac D4=a^2-4a+3=(a-1)(a-3).$$

1. $D<0$, то есть $1<a<3$: корней нет.

2. $D=0$: $a=1$ или $a=3$. При $a=1$ корень $x=1\in[0;3]$, при $a=3$ корень $x=3\in[0;3]$. Оба значения подходят.

3. $D>0$, то есть $a<1$ или $a>3$: два различных корня. Парабола с ветвями вверх: если $f(0)$ и $f(3)$ разных знаков, то ровно один корень лежит в интервале $(0;3)$ (второй — вне отрезка). Если знаки одинаковы, то на $[0;3]$ либо нет корней, либо два.

$f(0)f(3)<0\iff(4a-3)(6-2a)<0\iff(4a-3)(a-3)>0\iff a<\frac34$ или $a>3$. Оба промежутка входят в область $a<1$ или $a>3$.

Остаётся проверить значения, при которых один из концов отрезка — корень. $f(0)=0$ при $a=\frac34$: корни $x=0$ и $x=2a=\frac32$ (сумма корней равна $2a$) — оба на отрезке, не подходит. $f(3)=0$ при $a=3$ — это случай $D=0$, уже рассмотрен.

Для $\frac34<a<1$ имеем $f(0)>0$, $f(3)>0$, $D>0$ — на отрезке 0 или 2 корня, не подходит.

Итог: $a<\frac34$, $a=1$, $a\ge3$.

Ответ: $a\in\left(-\infty;\ \frac34\right)\cup\{1\}\cup[3;\ +\infty)$.