Задачи с параметром: формулы

Параметр — «замороженное» число: для каждого его значения уравнение имеет свои решения. Задачу решают аналитически (случаи, дискриминант, расположение корней) или графически в плоскости $(x;y)$ либо $(x;a)$.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: алгебра.

• $$ax^{2}+bx+c=0$$при параметре в старшем коэффициенте отдельно разбирают случай $a=0$ (уравнение становится линейным)
• $$D>0,\ D=0,\ D<0$$два корня, один корень, нет корней
• $$t=x^{2}$$замена: каждое $t>0$ даёт два корня $x=\pm\sqrt{t}$, $t=0$ даёт один, $t<0$ — ни одного
• $$t=|x|$$каждое $t>0$ даёт два корня, $t=0$ — один
• $$f(-x)=f(x)$$если функция чётная и $x_0$ — корень, то $-x_0$ тоже; единственный корень возможен лишь при $x_0=0$ (необходимое условие, затем проверка)
• $$y=a$$горизонтальная прямая; число решений $f(x)=a$ — число точек пересечения с графиком $y=f(x)$
• $$y=k(x-x_0)+y_0$$пучок прямых через точку $(x_0;y_0)$; параметр $k$ задаёт наклон
• $$(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=R^{2}$$окружность с центром $(x_0;y_0)$ и радиусом $R$
• $$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$; касание окружности и прямой при $d=R$
• $$f(x_0)=g(x_0),\quad f'(x_0)=g'(x_0)$$условие касания графиков функций в точке $x_0$ ЕГЭ профиль
• $$x_0=-\dfrac{b}{2a},\quad y_0=-\dfrac{D}{4a}$$вершина параболы $y=ax^2+bx+c$; при $a>0$ наименьшее значение равно $y_0$
• $$D\ge0,\ x_0>m,\ af(m)>0$$оба корня квадратного трёхчлена больше числа $m$ (для «меньше $m$» знак при $x_0$ меняется: $x_0<m$), $f(x)=ax^2+bx+c$
• $$af(m)<0$$число $m$ лежит строго между корнями трёхчлена
• $$D\ge0,\ m<x_0<n,\ af(m)>0,\ af(n)>0$$оба корня лежат в интервале $(m;n)$
• $$f(m)f(n)<0$$ровно один корень трёхчлена в интервале $(m;n)$ (граничные случаи $f(m)=0$, $f(n)=0$ разбирают отдельно)
• $$f\ge M,\ g\le M\Rightarrow(f=g\iff f=g=M)$$метод оценки: равенство возможно только при общем значении $M$
• $$x\leftrightarrow a$$если уравнение проще решить относительно параметра, меняют роли: выражают $a=\varphi(x)$ и исследуют функцию $\varphi$
• $$a=\varphi(x)$$число корней при данном $a$ равно числу пересечений прямой $y=a$ с графиком $\varphi$; ищут экстремумы и пределы $\varphi$