Линейные уравнения и системы: формулы

Линейное уравнение сводят к виду $ax=b$. Систему двух линейных уравнений решают подстановкой или сложением, а при необходимости по формулам Крамера.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$ax=b,\ a\ne0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{b}{a}$$единственный корень
• $$0\cdot x=b$$при $b=0$ корнем является любое число, при $b\ne0$ корней нет
• $$\dfrac{ax+b}{c}=d\iff ax+b=cd$$умножение на знаменатель, $c\ne0$
• $$af=ag\iff f=g$$обе части можно делить на число $a\ne0$; слагаемые переносят из части в часть с противоположным знаком
• $$ax>b$$при $a>0$: $x>\dfrac{b}{a}$; при $a<0$: $x<\dfrac{b}{a}$ (знак меняется)
• $$y=kx+b$$прямая; нуль функции $x=-\dfrac{b}{k}$, $k\ne0$
• $$\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1,\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$$система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
• $$x=c-by$$способ подстановки: выразить одну неизвестную из одного уравнения и подставить в другое
• $$\lambda_1E_1+\lambda_2E_2$$способ сложения: уравнения умножают на числа так, чтобы коэффициенты при одной неизвестной стали противоположными, и складывают
• $$D=a_1b_2-a_2b_1$$определитель системы
• $$x=\dfrac{c_1b_2-c_2b_1}{D},\quad y=\dfrac{a_1c_2-a_2c_1}{D}$$формулы Крамера при $D\ne0$: единственное решение ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}$$решений нет (прямые параллельны); при $\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}$ — бесконечно много (прямые совпадают) ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=k_1x+b_1,\ y=k_2x+b_2$$решение системы — точка пересечения прямых: $x=\dfrac{b_2-b_1}{k_1-k_2}$ при $k_1\ne k_2$
• $$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$$выражение суммы квадратов через сумму и произведение
• $$\begin{cases} x+y=s,\\ xy=p\end{cases}\Rightarrow x,y$$корни уравнения $t^{2}-st+p=0$ — симметричная система ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\begin{cases} f=0,\\ g=0\end{cases}$$решение системы должно удовлетворять каждому уравнению; найденную пару проверяют подстановкой