Задание 17 ЕГЭ база по математике: уравнения

Формулы к заданию 17

Модуль

• $|a|=\begin{cases} a, & a\ge0,\\ -a, & a<0\end{cases}$ — определение модуля
• $|a|\ge0,\quad |a|=0\iff a=0$ — модуль неотрицателен
• $|ab|=|a||b|,\quad \left|\dfrac{a}{b}\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$ — модуль произведения и частного, $b\ne0$
• $|a|^{2}=a^{2},\quad \sqrt{a^{2}}=|a|$ — квадрат и корень из квадрата
• $|x-a|$ — расстояние между точками $x$ и $a$ на числовой прямой; $|x-a|=b\iff x=a\pm b$ при $b\ge0$

Линейные уравнения и системы

• $ax=b,\ a\ne0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{b}{a}$ — единственный корень
• $0\cdot x=b$ — при $b=0$ корнем является любое число, при $b\ne0$ корней нет
• $\dfrac{ax+b}{c}=d\iff ax+b=cd$ — умножение на знаменатель, $c\ne0$
• $af=ag\iff f=g$ — обе части можно делить на число $a\ne0$; слагаемые переносят из части в часть с противоположным знаком
• $ax>b$ — при $a>0$: $x>\dfrac{b}{a}$; при $a<0$: $x<\dfrac{b}{a}$ (знак меняется)

Логарифмы

• $\log_a b=c \iff a^c=b$ — определение, $a>0$, $a\ne1$, $b>0$
• $a^{\log_a b}=b$ — основное логарифмическое тождество
• $\log_a 1=0,\quad \log_a a=1$ — частные значения
• $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$ — логарифм произведения, $x>0$, $y>0$
• $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$ — логарифм частного, $x>0$, $y>0$

Показательные уравнения

• $a^{f(x)}=a^{g(x)} \iff f(x)=g(x)$ — одинаковые основания, $a>0$, $a\ne1$
• $a^{x}=b \iff x=\log_a b$ — решение простейшего уравнения, $b>0$; при $b\le0$ корней нет
• $a^x>0$ — показательная функция принимает только положительные значения
• $a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)>g(x)$ — неравенство при $a>1$
• $a^{f(x)}>a^{g(x)} \iff f(x)<g(x)$ — неравенство при $0<a<1$

Квадратные уравнения

• $D=b^2-4ac$ — дискриминант
• $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ — корни при $D\ge0$; при $D<0$ корней нет
• $x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$ — формула для чётного коэффициента $b=2k$
• $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ — теорема Виета
• $x^2=m \iff x=\pm\sqrt{m}$ — неполное уравнение, $m\ge0$

Дробные и иррациональные уравнения

• $\dfrac{f}{g}=0\iff\begin{cases} f=0,\\ g\ne0\end{cases}$ — дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нет
• $\dfrac{f}{g}=\dfrac{h}{k}\iff fk=gh,\ g\ne0,\ k\ne0$ — пропорция («крест-накрест»)
• $\dfrac{f}{g}=\dfrac{f}{h}\iff f=0\ \text{или}\ g=h$ — при $g\ne0$, $h\ne0$; делить на $f$ нельзя: потеряется корень $f=0$
• $\dfrac{x+a}{x-b}=1+\dfrac{a+b}{x-b}$ — выделение целой части в дробно-линейном выражении, $x\ne b$
• $t=\dfrac{f}{g},\quad \dfrac{g}{f}=\dfrac{1}{t}$ — замена в уравнении вида $t+\dfrac{1}{t}=a$, сводится к $t^{2}-at+1=0$

Арксинус, арккосинус, арктангенс

• $\arcsin a=\alpha \iff \sin\alpha=a,\ \alpha\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ — арксинус, $|a|\le1$
• $\arccos a=\alpha \iff \cos\alpha=a,\ \alpha\in[0;\pi]$ — арккосинус, $|a|\le1$
• $\operatorname{arctg}a=\alpha \iff \operatorname{tg}\alpha=a,\ \alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ — арктангенс, $a\in\mathbb{R}$
• $\arcsin(-a)=-\arcsin a,\quad \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$ — арксинус и арктангенс нечётны
• $\arccos(-a)=\pi-\arccos a,\quad \operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a$ — арккосинус и арккотангенс отрицательного аргумента

Тригонометрические уравнения

• $\sin x=a \iff x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$ — при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $\sin x=a \iff x=\arcsin a+2\pi k\ \text{или}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k$ — та же серия в виде двух
• $\cos x=a \iff x=\pm\arccos a+2\pi k$ — при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $\operatorname{tg}x=a \iff x=\operatorname{arctg}a+\pi k$ — при любом $a$, $\cos x\ne0$
• $\sin x=0 \iff x=\pi k;\quad \cos x=0 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — частные случаи нуля

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.