Тригонометрические уравнения: формулы

Уравнение сводят к простейшим с помощью формул, замены или разложения на множители. Корни на отрезке отбирают по единичной окружности или двойным неравенством для $k$. Во всех ответах $k,\ n\in\mathbb{Z}$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: тригонометрия.

• $$\sin x=a \iff x=(-1)^k\arcsin a+\pi k$$при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $$\sin x=a \iff x=\arcsin a+2\pi k\ \text{или}\ x=\pi-\arcsin a+2\pi k$$та же серия в виде двух
• $$\cos x=a \iff x=\pm\arccos a+2\pi k$$при $|a|\le1$; при $|a|>1$ корней нет
• $$\operatorname{tg}x=a \iff x=\operatorname{arctg}a+\pi k$$при любом $a$, $\cos x\ne0$
• $$\operatorname{ctg}x=a \iff x=\operatorname{arcctg}a+\pi k$$при любом $a$, $\sin x\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$\sin x=0 \iff x=\pi k;\quad \cos x=0 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$частные случаи нуля
• $$\sin x=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\quad \sin x=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$$частные случаи синуса
• $$\cos x=1 \iff x=2\pi k;\quad \cos x=-1 \iff x=\pi+2\pi k$$частные случаи косинуса
• $$\sin x=\sin y \iff x=y+2\pi k\ \text{или}\ x=\pi-y+2\pi k$$равенство синусов ЕГЭ профиль
• $$\cos x=\cos y \iff x=\pm y+2\pi k$$равенство косинусов ЕГЭ профиль
• $$\sin^2x=a \Rightarrow \cos2x=1-2a,\quad \cos^2x=a \Rightarrow \cos2x=2a-1$$понижение степени сводит к уравнению для $\cos2x$ ЕГЭ профиль
• $$f(x)\cdot g(x)=0 \iff f(x)=0\ \text{или}\ g(x)=0$$разложение на множители; корни проверяют на ОДЗ ЕГЭ профиль
• $$a\sin^2x+b\sin x+c=0$$замена $t=\sin x$, $|t|\le1$; для косинуса аналогично, посторонний корень $|t|>1$ отбрасывают
• $$a\sin x+b\cos x=0,\ \cos x\ne0 \Rightarrow a\operatorname{tg}x+b=0$$однородное уравнение первой степени: делят на $\cos x$ ЕГЭ профиль
• $$a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0 \Rightarrow a\operatorname{tg}^2x+b\operatorname{tg}x+c=0$$однородное второй степени: делят на $\cos^2x$ ЕГЭ профиль
• $$a\sin x+b\cos x=c$$вспомогательный угол: $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)=c$; корни есть при $c^2\le a^2+b^2$ ЕГЭ профиль
• $$\sin x\pm\cos x=t \Rightarrow \sin x\cos x=\pm\dfrac{t^2-1}{2}$$замена для симметричных уравнений, $|t|\le\sqrt2$ ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \iff f(x)=0,\ g(x)\ne0$$дробь равна нулю; ОДЗ проверяют по серии корней ЕГЭ профиль