Тригонометрические формулы: формулы

Основное тождество, формулы двойного угла, сложения и понижения степени — главные инструменты для упрощения выражений и решения уравнений №13. Для ОГЭ нужно только основное тождество и связь $\operatorname{tg}$ с $\sin$ и $\cos$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: тригонометрия.

• $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$основное тригонометрическое тождество; отсюда $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, знак по четверти
• $$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$$тангенс и котангенс, $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$
• $$1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$$связь тангенса и косинуса, $\cos\alpha\ne0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$$связь котангенса и синуса, $\sin\alpha\ne0$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$синус двойного угла ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$косинус двойного угла ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}$$тангенс двойного угла, $\cos2\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2},\quad \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}$$понижение степени ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}},\quad \cos\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}$$половинный угол, знак по четверти угла $\dfrac{\alpha}{2}$ ЕГЭ профиль
• $$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$синус суммы и разности ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$$косинус суммы и разности ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$$тангенс суммы и разности, знаменатель и $\operatorname{tg}$ определены ЕГЭ профиль
• $$\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,\quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$$тройной угол ЕГЭ профиль
• $$\sin^2\alpha=\dfrac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha},\quad \cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}$$квадраты через тангенс, $\cos\alpha\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm\sin2\alpha$$квадрат суммы и разности синуса и косинуса ЕГЭ профиль
• $$\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=\cos2\alpha$$разность четвёртых степеней: $(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)$ ЕГЭ профиль