Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники

Формулы к заданию 15

Единичная окружность и радианы

• $\sin A=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\ \cos A=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$ — острый угол прямоугольного треугольника
• $\operatorname{tg}A=\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ — тангенс острого угла
• $\sin^2A+\cos^2A=1$ — основное тригонометрическое тождество
• $\sin A=\cos(90^\circ-A),\quad \operatorname{tg}A=\dfrac{1}{\operatorname{tg}(90^\circ-A)}$ — в прямоугольном треугольнике $\angle A+\angle B=90^\circ$

Тригонометрия: значения и формулы приведения

• $\sin 30^\circ=\dfrac12,\ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус табличных углов
• $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \cos 60^\circ=\dfrac12$ — косинус табличных углов
• $\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\ \operatorname{tg}45^\circ=1,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ — тангенс табличных углов
• $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\ \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ — синус и косинус дополнительных до $90^\circ$ углов

Формулы приведения

• $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\ \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$ — для тупых углов (ОГЭ: теоремы синусов и косинусов)
• $\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$ — тангенс тупого угла

Тригонометрические формулы

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — основное тригонометрическое тождество; отсюда $\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, знак по четверти
• $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1$ — тангенс и котангенс, $\sin\alpha\ne0$, $\cos\alpha\ne0$

Основные понятия и углы

• $\alpha+\beta=180^\circ$ — смежные углы; биссектрисы смежных углов перпендикулярны
• $\alpha=\beta$ — вертикальные углы равны
• $0^\circ<\alpha<90^\circ,\quad \alpha=90^\circ,\quad 90^\circ<\alpha<180^\circ$ — острый, прямой, тупой угол; развёрнутый угол равен $180^\circ$
• $\angle1=\angle2$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны
• $\angle1=\angle3$ — соответственные углы при параллельных прямых равны

Равенство и подобие треугольников

• $\text{СУС}$ — первый признак равенства: две стороны и угол между ними равны
• $\text{УСУ}$ — второй признак равенства: сторона и два прилежащих к ней угла равны
• $\text{ССС}$ — третий признак равенства: три стороны равны
• $\text{по катетам; катет и угол; гипотенуза и угол; гипотенуза и катет}$ — признаки равенства прямоугольных треугольников
• $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$ — первый признак подобия (по двум углам)

Треугольники

• $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ — сумма углов треугольника; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $c$ — гипотенуза
• $\sin A=\dfrac{a}{c},\ \cos A=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}$ — прямоугольный треугольник: $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12,\quad \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус и косинус углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ — тангенс углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$

Замечательные точки и линии треугольника

• $AM:MM_1=2:1$ — медианы пересекаются в одной точке (центр масс) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины
• $S_{ABM_1}=S_{ACM_1}=\dfrac12 S_{ABC}$ — медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы — на шесть равновеликих
• $r=\dfrac{S}{p}$ — биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; он равноудалён от сторон, $p$ — полупериметр
• $\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$ — свойство биссектрисы $BL$: она делит сторону $AC$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам
• $OA=OB=OC=R$ — серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности; в остроугольном треугольнике он внутри, в прямоугольном — середина гипотенузы, в тупоугольном — вне

Прямоугольный треугольник

• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза
• $3,4,5;\ 5,12,13;\ 8,15,17;\ 7,24,25$ — пифагоровы тройки (и пропорциональные им: $6,8,10$ и т. п.)
• $\sin A=\dfrac ac,\ \cos A=\dfrac bc,\ \operatorname{tg}A=\dfrac ab$ — синус, косинус, тангенс острого угла $A$; $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $a=c\sin A=c\cos B,\quad b=c\cos A=a\operatorname{ctg}A$ — катеты через гипотенузу и острый угол
• $\sin^2A+\cos^2A=1,\quad \operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ — основное тригонометрическое тождество и тангенс

Правильные многоугольники

• $\alpha_n=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ — угол правильного $n$-угольника ($60^\circ$, $90^\circ$, $108^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$ при $n=3,4,5,6,8$)
• $\varphi=\dfrac{360^\circ}{n}$ — центральный угол, опирающийся на сторону; внешний угол при вершине тоже $\dfrac{360^\circ}{n}$
• $\dfrac{n(n-3)}{2}$ — число диагоналей выпуклого $n$-угольника
• $S=\dfrac12 Pr=\dfrac12 n\,a\,r$ — площадь правильного многоугольника ($P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности)
• $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\quad h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ — правильный треугольник: площадь и высота

Площади фигур

• $S=\dfrac12 ah$ — площадь треугольника через сторону и высоту
• $S=\dfrac12 ab\sin C$ — площадь треугольника через две стороны и угол между ними
• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — формула Герона, $p$ — полупериметр
• $S=\dfrac12 ab$ — прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$
• $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ — равносторонний треугольник

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.