Равенство и подобие треугольников: формулы

Признаки равенства и подобия, свойства равнобедренного и равностороннего треугольников. Подобие — главный инструмент нахождения длин и площадей.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$\text{СУС}$$первый признак равенства: две стороны и угол между ними равны
• $$\text{УСУ}$$второй признак равенства: сторона и два прилежащих к ней угла равны
• $$\text{ССС}$$третий признак равенства: три стороны равны
• $$\text{по катетам; катет и угол; гипотенуза и угол; гипотенуза и катет}$$признаки равенства прямоугольных треугольников
• $$\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$$первый признак подобия (по двум углам)
• $$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1},\ \angle A=\angle A_1$$второй признак подобия (две стороны пропорциональны, углы между ними равны)
• $$\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{A_1C_1}$$третий признак подобия (три стороны пропорциональны)
• $$k=\dfrac{A_1B_1}{AB},\quad \dfrac{P_1}{P}=k,\quad \dfrac{S_1}{S}=k^2$$коэффициент подобия; периметры относятся как $k$, площади — как $k^2$
• $$\dfrac{h_1}{h}=\dfrac{m_1}{m}=\dfrac{l_1}{l}=\dfrac{R_1}{R}=\dfrac{r_1}{r}=k$$высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей относятся как стороны
• $$DE\parallel AC \Rightarrow \triangle BDE\sim\triangle BAC$$прямая, параллельная стороне, отсекает подобный треугольник
• $$\triangle ABC\sim\triangle CBH\sim\triangle ACH$$высота $CH$ к гипотенузе разбивает прямоугольный треугольник на два подобных ему
• $$AB=BC \Rightarrow \angle A=\angle C$$в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; верно и обратное
• $$BH\perp AC,\ AH=HC,\ \angle ABH=\angle CBH$$в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота к основанию совпадают
• $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$равносторонний треугольник: все углы равны $60^\circ$, все его высоты, медианы и биссектрисы равны
• $$\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AD\cdot AE}{AB\cdot AC}$$отношение площадей треугольников с общим углом $A$
• $$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1}{a_2}$$общая высота: площади относятся как основания (общее основание: как высоты)
• $$c^2<a^2+b^2,\ c^2=a^2+b^2,\ c^2>a^2+b^2$$$c$ — наибольшая сторона: треугольник остроугольный, прямоугольный, тупоугольный соответственно
• $$\angle C=90^\circ \iff c^2=a^2+b^2$$теорема, обратная теореме Пифагора