Окружность: формулы

Вписанные и центральные углы, касательные, хорды и секущие, вписанные и описанные окружности многоугольников.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$C=2\pi R,\quad S=\pi R^2$$длина окружности и площадь круга
• $$l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ},\quad S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$$длина дуги и площадь сектора с центральным углом $\alpha$
• $$\angle ABC=\dfrac12\angle AOC$$вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу
• $$\angle ACB=90^\circ$$вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$, прямой
• $$OA\perp a$$касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания
• $$MA=MB$$отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны
• $$AE\cdot EB=CE\cdot ED$$хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$
• $$MA\cdot MB=MC^2$$секущая $MAB$ и касательная $MC$
• $$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ$$четырёхугольник вписан в окружность
• $$a+c=b+d$$в четырёхугольник вписана окружность (суммы противоположных сторон равны)
• $$r=\dfrac{a+b-c}{2},\quad R=\dfrac{c}{2}$$радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
• $$S=pr,\quad R=\dfrac{abc}{4S}$$радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, $p$ — полупериметр
• $$O_1O_2=R+r$$окружности касаются внешним образом; при внутреннем касании $O_1O_2=R-r$
• $$\angle AOB=\smile AB$$центральный угол равен угловой мере дуги, на которую опирается; вписанный — её половине
• $$\angle ACB=\angle ADB$$вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
• $$\angle ACB+\angle ADB=180^\circ$$вписанные углы, опирающиеся на одну хорду с разных сторон, дают в сумме $180^\circ$
• $$\angle(AB,\,t)=\dfrac12\smile AB$$угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними
• $$\varphi=\dfrac{\smile AB+\smile CD}{2}$$угол между пересекающимися хордами (угол внутри окружности): полусумма дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями
• $$\varphi=\dfrac{\smile AB-\smile CD}{2}$$угол между двумя секущими, секущей и касательной или двумя касательными из внешней точки: полуразность дуг
• $$\angle AMB=180^\circ-\angle AOB$$угол между касательными $MA$ и $MB$; $OM$ — его биссектриса
• $$S=\dfrac12lR$$площадь сектора через длину дуги $l$ и радиус
• $$\pi\approx3{,}14$$число $\pi$; радианная мера угла $\alpha_{\text{рад}}=\dfrac{\pi\alpha^\circ}{180}$, длина дуги $l=R\alpha_{\text{рад}}$ ЕГЭ профиль
• $$S_{\text{кольца}}=\pi\left(R^2-r^2\right)$$площадь кольца