Правильные многоугольники: формулы

Правильный $n$-угольник вписан в окружность радиуса $R$ и описан около окружности радиуса $r$, центры совпадают. Чаще всего встречаются треугольник, квадрат и шестиугольник.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$\alpha_n=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$$угол правильного $n$-угольника ($60^\circ$, $90^\circ$, $108^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$ при $n=3,4,5,6,8$)
• $$\varphi=\dfrac{360^\circ}{n}$$центральный угол, опирающийся на сторону; внешний угол при вершине тоже $\dfrac{360^\circ}{n}$
• $$\dfrac{n(n-3)}{2}$$число диагоналей выпуклого $n$-угольника
• $$S=\dfrac12 Pr=\dfrac12 n\,a\,r$$площадь правильного многоугольника ($P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности)
• $$a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$$сторона через радиус описанной окружности ЕГЭ профиль
• $$a=2r\operatorname{tg}\dfrac{180^\circ}{n},\quad r=R\cos\dfrac{180^\circ}{n}$$сторона через $r$ и связь $r$ с $R$ ЕГЭ профиль
• $$S=\dfrac12 nR^2\sin\dfrac{360^\circ}{n}=\dfrac{na^2}{4\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}$$площадь через $R$ и через сторону ЕГЭ профиль
• $$S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4},\quad h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$правильный треугольник: площадь и высота
• $$R=\dfrac{a\sqrt3}{3}=\dfrac{2h}{3},\quad r=\dfrac{a\sqrt3}{6}=\dfrac h3=\dfrac R2$$правильный треугольник: радиусы описанной и вписанной окружностей
• $$S=a^2,\quad d=a\sqrt2$$квадрат: площадь и диагональ
• $$R=\dfrac{a\sqrt2}{2},\quad r=\dfrac a2$$квадрат: радиусы описанной и вписанной окружностей
• $$a=R\sqrt2$$сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса $R$; $a=2r$ для квадрата, описанного около окружности
• $$S=\dfrac{3a^2\sqrt3}{2}$$правильный шестиугольник; он состоит из шести правильных треугольников со стороной $a$
• $$R=a,\quad r=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$правильный шестиугольник: радиусы описанной и вписанной окружностей
• $$d_1=2a,\quad d_2=a\sqrt3$$правильный шестиугольник: большая и меньшая диагонали
• $$a=R\sqrt3$$сторона правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $R$; $a=2r\sqrt3$ — описанного около окружности радиуса $r$
• $$S=2a^2\left(1+\sqrt2\right)$$площадь правильного восьмиугольника ЕГЭ профиль
• $$a_{10}=\dfrac{R(\sqrt5-1)}{2}$$сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиуса $R$ ЕГЭ профиль