Замечательные точки и линии треугольника: формулы

Медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры, их точки пересечения и длины. Формулы для длин отрезков и расстояний между точками нужны в основном на ЕГЭ.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$AM:MM_1=2:1$$медианы пересекаются в одной точке (центр масс) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины
• $$S_{ABM_1}=S_{ACM_1}=\dfrac12 S_{ABC}$$медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы — на шесть равновеликих
• $$m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$$длина медианы к стороне $a$ ЕГЭ профиль
• $$m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac34\left(a^2+b^2+c^2\right)$$сумма квадратов медиан ЕГЭ профиль
• $$r=\dfrac{S}{p}$$биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; он равноудалён от сторон, $p$ — полупериметр
• $$\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$$свойство биссектрисы $BL$: она делит сторону $AC$ на части, пропорциональные прилежащим сторонам
• $$l_c=\sqrt{ab-a_1b_1}$$биссектриса к стороне $c$; $a_1$, $b_1$ — отрезки, на которые она делит сторону $c$ ЕГЭ профиль
• $$l_c=\dfrac{2ab\cos\frac C2}{a+b}$$длина биссектрисы угла $C$ через две стороны ЕГЭ профиль
• $$\angle BIC=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}$$угол между биссектрисами углов $B$ и $C$, $I$ — центр вписанной окружности ЕГЭ профиль
• $$OA=OB=OC=R$$серединные перпендикуляры пересекаются в центре описанной окружности; в остроугольном треугольнике он внутри, в прямоугольном — середина гипотенузы, в тупоугольном — вне
• $$h_a=\dfrac{2S}{a},\quad ah_a=bh_b=ch_c$$высота через площадь; произведение стороны на проведённую к ней высоту одинаково
• $$h_a=b\sin C=c\sin B$$высота через сторону и угол
• $$AH=2R\left|\cos A\right|$$расстояние от вершины $A$ до ортоцентра $H$ (точки пересечения высот или их продолжений) ЕГЭ профиль
• $$OM=R\left|\cos A\right|$$расстояние от центра описанной окружности до стороны $BC$ ЕГЭ профиль
• $$OH=3\,OG$$центр описанной окружности $O$, центр масс $G$, ортоцентр $H$ лежат на одной прямой (прямой Эйлера), $G$ между $O$ и $H$, $OG:GH=1:2$ ЕГЭ профиль
• $$OI^2=R^2-2Rr$$формула Эйлера: расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей ЕГЭ профиль
• $$WB=WC=WI$$$W$ — середина дуги $BC$ описанной окружности (не содержащей $A$), лежит на биссектрисе угла $A$ ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1$$теорема Чевы (для трёх чевиан, пересекающихся в одной точке) и теорема Менелая (для точек $D,E,F$ на одной прямой) ЕГЭ профиль
• $$r_a=\dfrac{S}{p-a}$$радиус вневписанной окружности, касающейся стороны $a$ ЕГЭ профиль
• $$MN\parallel AC,\quad MN=\dfrac{AC}{2}$$средняя линия; три средние линии разбивают треугольник на четыре равных