Задание 1 ЕГЭ профиль по математике: планиметрия

Формулы к заданию 1

Основные понятия и углы

• $\alpha+\beta=180^\circ$ — смежные углы; биссектрисы смежных углов перпендикулярны
• $\alpha=\beta$ — вертикальные углы равны
• $0^\circ<\alpha<90^\circ,\quad \alpha=90^\circ,\quad 90^\circ<\alpha<180^\circ$ — острый, прямой, тупой угол; развёрнутый угол равен $180^\circ$
• $\angle1=\angle2$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны
• $\angle1=\angle3$ — соответственные углы при параллельных прямых равны

Равенство и подобие треугольников

• $\text{СУС}$ — первый признак равенства: две стороны и угол между ними равны
• $\text{УСУ}$ — второй признак равенства: сторона и два прилежащих к ней угла равны
• $\text{ССС}$ — третий признак равенства: три стороны равны
• $\text{по катетам; катет и угол; гипотенуза и угол; гипотенуза и катет}$ — признаки равенства прямоугольных треугольников
• $\angle A=\angle A_1,\ \angle B=\angle B_1$ — первый признак подобия (по двум углам)

Треугольники

• $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ — сумма углов треугольника; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $c$ — гипотенуза
• $\sin A=\dfrac{a}{c},\ \cos A=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}$ — прямоугольный треугольник: $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12,\quad \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус и косинус углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ — тангенс углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$

Замечательные точки и линии треугольника

• $AM:MM_1=2:1$ — медианы пересекаются в одной точке (центр масс) и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины
• $S_{ABM_1}=S_{ACM_1}=\dfrac12 S_{ABC}$ — медиана делит треугольник на два равновеликих; три медианы — на шесть равновеликих
• $m_a=\dfrac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ — длина медианы к стороне $a$
• $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\dfrac34\left(a^2+b^2+c^2\right)$ — сумма квадратов медиан
• $r=\dfrac{S}{p}$ — биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности; он равноудалён от сторон, $p$ — полупериметр

Прямоугольный треугольник

• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза
• $3,4,5;\ 5,12,13;\ 8,15,17;\ 7,24,25$ — пифагоровы тройки (и пропорциональные им: $6,8,10$ и т. п.)
• $\sin A=\dfrac ac,\ \cos A=\dfrac bc,\ \operatorname{tg}A=\dfrac ab$ — синус, косинус, тангенс острого угла $A$; $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $a=c\sin A=c\cos B,\quad b=c\cos A=a\operatorname{ctg}A$ — катеты через гипотенузу и острый угол
• $\sin^2A+\cos^2A=1,\quad \operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$ — основное тригонометрическое тождество и тангенс

Четырёхугольники

• $AB=CD,\ AD=BC,\ \angle A=\angle C$ — в параллелограмме противоположные стороны и углы равны
• $\angle A+\angle B=180^\circ$ — сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне
• $AO=OC,\ BO=OD$ — диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
• $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$ — сумма квадратов диагоналей параллелограмма
• $AC\perp BD$ — диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов

Правильные многоугольники

• $\alpha_n=\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ — угол правильного $n$-угольника ($60^\circ$, $90^\circ$, $108^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$ при $n=3,4,5,6,8$)
• $\varphi=\dfrac{360^\circ}{n}$ — центральный угол, опирающийся на сторону; внешний угол при вершине тоже $\dfrac{360^\circ}{n}$
• $\dfrac{n(n-3)}{2}$ — число диагоналей выпуклого $n$-угольника
• $S=\dfrac12 Pr=\dfrac12 n\,a\,r$ — площадь правильного многоугольника ($P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности)
• $a=2R\sin\dfrac{180^\circ}{n}$ — сторона через радиус описанной окружности

Площади фигур

• $S=\dfrac12 ah$ — площадь треугольника через сторону и высоту
• $S=\dfrac12 ab\sin C$ — площадь треугольника через две стороны и угол между ними
• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — формула Герона, $p$ — полупериметр
• $S=\dfrac12 ab$ — прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$
• $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ — равносторонний треугольник

Окружность

• $C=2\pi R,\quad S=\pi R^2$ — длина окружности и площадь круга
• $l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ},\quad S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$ — длина дуги и площадь сектора с центральным углом $\alpha$
• $\angle ABC=\dfrac12\angle AOC$ — вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу
• $\angle ACB=90^\circ$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$, прямой
• $OA\perp a$ — касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Хорды, касательные и секущие

• $OM\perp AB,\ AM=MB$ — диаметр (радиус), перпендикулярный хорде, делит её пополам; и наоборот, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
• $AB=2\sqrt{R^2-d^2}$ — длина хорды на расстоянии $d$ от центра; чем ближе хорда к центру, тем она длиннее
• $AB\le2R$ — диаметр — наибольшая хорда окружности; равные хорды стягивают равные дуги
• $AB=2R\sin\alpha$ — хорда через радиус и вписанный угол $\alpha$, опирающийся на неё
• $AB=2R\sin\dfrac{\varphi}{2}$ — хорда через радиус и центральный угол $\varphi$

Вписанные и описанные окружности

• $r=\dfrac{S}{p},\quad S=pr$ — радиус вписанной окружности треугольника; её центр — пересечение биссектрис
• $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$ — радиус описанной окружности треугольника; центр — пересечение серединных перпендикуляров
• $R=\dfrac c2,\quad r=\dfrac{a+b-c}{2}$ — прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы
• $R=\dfrac{a\sqrt3}{3},\quad r=\dfrac{a\sqrt3}{6},\quad R=2r$ — правильный треугольник
• $R=\dfrac{b^2}{2h}$ — равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и высотой $h$ к основанию

Фигуры на клетчатой бумаге

• $S=B+\dfrac{\Gamma}{2}-1$ — формула Пика для многоугольника с вершинами в узлах: $B$ — узлы строго внутри, $\Gamma$ — узлы на границе (включая вершины)
• $S=S_{\text{прямоуг.}}-S_1-S_2-S_3$ — площадь «косого» треугольника: достроить до прямоугольника и вычесть три прямоугольных треугольника
• $S=\dfrac12 ah$ — треугольник: основание и высота идут по линиям сетки
• $d=\sqrt{m^2+n^2}$ — длина отрезка между узлами, смещённого на $m$ клеток по горизонтали и на $n$ по вертикали
• $\sqrt2$ — диагональ клетки; $\sqrt5$ — «ход коня» ($1\times2$); $5$ — диагональ прямоугольника $3\times4$

Координаты на плоскости

• $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — расстояние между точками $A(x_1;\ y_1)$ и $B(x_2;\ y_2)$
• $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ — середина отрезка
• $G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ — точка пересечения медиан треугольника
• $x=\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\quad y=\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}$ — точка, делящая отрезок $AB$ в отношении $AM:MB=\lambda$
• $y=kx+b$ — уравнение прямой; $k=\operatorname{tg}\varphi$ — угловой коэффициент ($\varphi$ — угол с осью $Ox$), $b$ — ордината пересечения с осью $Oy$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.