Вписанные и описанные окружности: формулы

Когда в многоугольник можно вписать окружность или описать её около него, и как находить радиусы. Для треугольника это можно всегда, для четырёхугольника нужны условия.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$r=\dfrac{S}{p},\quad S=pr$$радиус вписанной окружности треугольника; её центр — пересечение биссектрис
• $$R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$$радиус описанной окружности треугольника; центр — пересечение серединных перпендикуляров
• $$R=\dfrac c2,\quad r=\dfrac{a+b-c}{2}$$прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы
• $$R=\dfrac{a\sqrt3}{3},\quad r=\dfrac{a\sqrt3}{6},\quad R=2r$$правильный треугольник
• $$R=\dfrac{b^2}{2h}$$равнобедренный треугольник с боковой стороной $b$ и высотой $h$ к основанию ЕГЭ профиль
• $$AT=p-a$$точка касания вписанной окружности делит стороны на отрезки $p-a$, $p-b$, $p-c$ (от вершины $A$ до точки касания $p-a$)
• $$r=(p-a)\operatorname{tg}\dfrac A2$$радиус вписанной окружности через отрезок касательной ЕГЭ профиль
• $$r=4R\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2$$связь радиусов вписанной и описанной окружностей ЕГЭ профиль
• $$OI^2=R^2-2Rr$$формула Эйлера; отсюда $R\ge2r$ ЕГЭ профиль
• $$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^\circ$$четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $180^\circ$
• $$\angle ABD=\angle ACD$$признак вписанного четырёхугольника: сторона $AD$ видна из вершин $B$ и $C$ под одним углом
• $$a+c=b+d$$в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны
• $$S=pr$$площадь описанного многоугольника через полупериметр и радиус вписанной окружности (для четырёхугольника $p=a+c=b+d$ уже полупериметр)
• $$\text{вписан: прямоугольник, равнобедренная трапеция}$$вписать в окружность можно: прямоугольник, квадрат, равнобедренную трапецию; нельзя: ромб (не квадрат), параллелограмм (не прямоугольник)
• $$\text{описан: ромб, квадрат}$$описать около окружности можно: квадрат, ромб, трапецию при условии $a+b=c+d$; нельзя: прямоугольник (не квадрат), параллелограмм (не ромб)
• $$R=\dfrac d2=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}2$$прямоугольник: центр описанной окружности — точка пересечения диагоналей
• $$r=\dfrac a2,\quad R=\dfrac{a\sqrt2}2$$квадрат
• $$r=\dfrac h2=\dfrac{d_1d_2}{4a}$$ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$, $d_2$ ЕГЭ профиль
• $$h=2r,\quad c+d=a+b$$трапеция с вписанной окружностью: высота равна диаметру; боковая сторона видна из центра под прямым углом
• $$\angle COD=90^\circ$$боковая сторона $CD$ описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом $90^\circ$ ЕГЭ профиль