Задание 16 ОГЭ по математике: окружность

Формулы к заданию 16

Окружность

• $C=2\pi R,\quad S=\pi R^2$ — длина окружности и площадь круга
• $l=\dfrac{\pi R\alpha}{180^\circ},\quad S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$ — длина дуги и площадь сектора с центральным углом $\alpha$
• $\angle ABC=\dfrac12\angle AOC$ — вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу
• $\angle ACB=90^\circ$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$, прямой
• $OA\perp a$ — касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Хорды, касательные и секущие

• $OM\perp AB,\ AM=MB$ — диаметр (радиус), перпендикулярный хорде, делит её пополам; и наоборот, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
• $AB=2\sqrt{R^2-d^2}$ — длина хорды на расстоянии $d$ от центра; чем ближе хорда к центру, тем она длиннее
• $AB\le2R$ — диаметр — наибольшая хорда окружности; равные хорды стягивают равные дуги
• $AB=2R\sin\alpha$ — хорда через радиус и вписанный угол $\alpha$, опирающийся на неё
• $AE\cdot EB=CE\cdot ED$ — пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$: произведения отрезков равны

Вписанные и описанные окружности

• $r=\dfrac{S}{p},\quad S=pr$ — радиус вписанной окружности треугольника; её центр — пересечение биссектрис
• $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{a}{2\sin A}$ — радиус описанной окружности треугольника; центр — пересечение серединных перпендикуляров
• $R=\dfrac c2,\quad r=\dfrac{a+b-c}{2}$ — прямоугольный треугольник: центр описанной окружности — середина гипотенузы
• $R=\dfrac{a\sqrt3}{3},\quad r=\dfrac{a\sqrt3}{6},\quad R=2r$ — правильный треугольник
• $AT=p-a$ — точка касания вписанной окружности делит стороны на отрезки $p-a$, $p-b$, $p-c$ (от вершины $A$ до точки касания $p-a$)

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.