Хорды, касательные и секущие: формулы

Свойства хорд, касательных и секущих, теоремы о пропорциональных отрезках и взаимное расположение двух окружностей.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$OM\perp AB,\ AM=MB$$диаметр (радиус), перпендикулярный хорде, делит её пополам; и наоборот, серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр
• $$AB=2\sqrt{R^2-d^2}$$длина хорды на расстоянии $d$ от центра; чем ближе хорда к центру, тем она длиннее
• $$AB\le2R$$диаметр — наибольшая хорда окружности; равные хорды стягивают равные дуги
• $$AB=2R\sin\alpha$$хорда через радиус и вписанный угол $\alpha$, опирающийся на неё
• $$AB=2R\sin\dfrac{\varphi}{2}$$хорда через радиус и центральный угол $\varphi$ ЕГЭ профиль
• $$AE\cdot EB=CE\cdot ED$$пересекающиеся хорды $AB$ и $CD$: произведения отрезков равны
• $$MA\cdot MB=MC\cdot MD$$две секущие, проведённые из точки $M$ вне окружности
• $$MA\cdot MB=MT^2$$секущая $MAB$ и касательная $MT$ из одной точки
• $$MA\cdot MB=\left|OM^2-R^2\right|$$степень точки $M$ относительно окружности радиуса $R$ с центром $O$ ЕГЭ профиль
• $$OT\perp t$$касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; верно и обратное (признак касательной)
• $$MT=\sqrt{OM^2-R^2}$$длина касательной из точки $M$, $OM$ — расстояние до центра
• $$MA=MB$$отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны; $OM$ — биссектриса угла $AMB$ и серединный перпендикуляр к $AB$
• $$\rho(O,\ell)=R,\quad \rho(O,\ell)<R,\quad \rho(O,\ell)>R$$прямая касается окружности, пересекает её или не имеет с ней общих точек
• $$O_1O_2>R+r$$окружности радиусов $R>r$ не пересекаются и лежат одна вне другой; $O_1O_2<R-r$ — одна внутри другой
• $$O_1O_2=R+r$$внешнее касание; $O_1O_2=R-r$ — внутреннее касание; точка касания лежит на линии центров
• $$R-r<O_1O_2<R+r$$окружности пересекаются в двух точках; общая хорда перпендикулярна линии центров
• $$\ell=\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$длина общей внешней касательной окружностей радиусов $R$, $r$ с расстоянием $d$ между центрами
• $$\ell=\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$длина общей внутренней касательной (при $d>R+r$)
• $$4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0$$число общих касательных двух окружностей: не пересекаются, лежат одна вне другой — 4; касаются внешне — 3; пересекаются — 2; касаются внутренне — 1; одна внутри другой — 0
• $$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD$$теорема Птолемея для вписанного четырёхугольника $ABCD$ ЕГЭ профиль