Прямоугольный треугольник: формулы

Теорема Пифагора, тригонометрия острого угла, особые треугольники с углами $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ и метрические соотношения с высотой к гипотенузе. Сюда сводится большинство вычислений.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$c^2=a^2+b^2$$теорема Пифагора, $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза
• $$3,4,5;\ 5,12,13;\ 8,15,17;\ 7,24,25$$пифагоровы тройки (и пропорциональные им: $6,8,10$ и т. п.)
• $$\sin A=\dfrac ac,\ \cos A=\dfrac bc,\ \operatorname{tg}A=\dfrac ab$$синус, косинус, тангенс острого угла $A$; $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $$a=c\sin A=c\cos B,\quad b=c\cos A=a\operatorname{ctg}A$$катеты через гипотенузу и острый угол
• $$\sin^2A+\cos^2A=1,\quad \operatorname{tg}A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$$основное тригонометрическое тождество и тангенс
• $$\sin A=\cos(90^\circ-A),\quad \operatorname{tg}A\cdot\operatorname{tg}B=1$$связь острых углов $A+B=90^\circ$
• $$\sin30^\circ=\dfrac12,\ \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3}$$значения для $30^\circ$
• $$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\ \operatorname{tg}45^\circ=1$$значения для $45^\circ$
• $$\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2},\ \cos60^\circ=\dfrac12,\ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$$значения для $60^\circ$
• $$a=\dfrac c2$$катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы; верно и обратное
• $$a:b:c=1:\sqrt3:2$$стороны треугольника с углами $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$
• $$a=b,\quad c=a\sqrt2$$равнобедренный прямоугольный треугольник (углы $45^\circ$, $45^\circ$, $90^\circ$)
• $$h=\dfrac{ab}{c}$$высота, опущенная на гипотенузу
• $$h^2=a_c\cdot b_c$$высота к гипотенузе — среднее геометрическое проекций катетов $a_c$ и $b_c$ на гипотенузу
• $$a^2=c\cdot a_c,\quad b^2=c\cdot b_c$$катет — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции
• $$m_c=\dfrac c2=R$$медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы и радиусу описанной окружности
• $$r=\dfrac{a+b-c}{2}$$радиус вписанной окружности
• $$S=\dfrac{ab}{2}=\dfrac{ch}{2}$$площадь прямоугольного треугольника
• $$\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\ \cos15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\ \operatorname{tg}15^\circ=2-\sqrt3$$значения для $15^\circ$ (и $75^\circ$ по формулам приведения) ЕГЭ профиль
• $$l=\dfrac{ab\sqrt2}{a+b}$$биссектриса прямого угла ЕГЭ профиль