Четырёхугольники: формулы

Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата и трапеции, а также углы правильных многоугольников.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$AB=CD,\ AD=BC,\ \angle A=\angle C$$в параллелограмме противоположные стороны и углы равны
• $$\angle A+\angle B=180^\circ$$сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне
• $$AO=OC,\ BO=OD$$диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
• $$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$$сумма квадратов диагоналей параллелограмма
• $$AC\perp BD$$диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов
• $$AC=BD$$диагонали прямоугольника равны
• $$d=a\sqrt2$$диагональ квадрата
• $$MN=\dfrac{a+b}{2},\ MN\parallel AD$$средняя линия трапеции с основаниями $a$ и $b$
• $$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{CO}{OA}=\dfrac{BC}{AD}$$диагонали трапеции делятся в отношении оснований
• $$\angle A+\angle B=180^\circ$$углы трапеции, прилежащие к боковой стороне
• $$AH=\dfrac{AD-BC}{2}$$проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание
• $$180^\circ(n-2)$$сумма углов выпуклого $n$-угольника; внешние углы в сумме дают $360^\circ$
• $$AB\parallel CD,\ AB=CD$$признак параллелограмма: две стороны равны и параллельны (также: противоположные стороны попарно равны; диагонали делятся пополам)
• $$AB=BM$$биссектриса $AM$ угла параллелограмма $ABCD$ ($M\in BC$) отсекает равнобедренный треугольник $ABM$; биссектрисы соседних углов перпендикулярны
• $$S_{AOB}=S_{BOC}=S_{COD}=S_{DOA}$$диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника
• $$ah_a=bh_b$$высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам, к которым проведены
• $$4a^2=d_1^2+d_2^2$$ромб: сумма квадратов диагоналей равна учетверённому квадрату стороны
• $$AB=BC$$признак ромба: параллелограмм с равными соседними сторонами или с перпендикулярными диагоналями
• $$d=\sqrt{a^2+b^2}$$диагональ прямоугольника со сторонами $a$, $b$
• $$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ,\ AB=BC$$квадрат: прямоугольник с равными соседними сторонами (он же ромб с прямым углом)
• $$AC=BD,\ \angle A=\angle D$$равнобедренная трапеция: диагонали равны, углы при основании равны; около неё можно описать окружность
• $$a+b=c+d,\quad h=2r$$трапеция, в которую вписана окружность (боковые стороны $c$, $d$); средняя линия равна $\dfrac{c+d}{2}$
• $$h=\dfrac{a+b}{2}$$высота равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями (она равна средней линии)
• $$x=\dfrac{2ab}{a+b}$$длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{a-b}{2}$$длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции ЕГЭ профиль
• $$S_{ABO}=S_{CDO}$$в трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики ЕГЭ профиль
• $$\text{середины оснований}$$середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой ЕГЭ профиль
• $$\text{параллелограмм Вариньона}$$середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма; его периметр равен сумме диагоналей ЕГЭ профиль
• $$\text{вписан}\Rightarrow\text{прямоугольник};\ \text{описан}\Rightarrow\text{ромб}$$параллелограмм, вписанный в окружность, — прямоугольник; описанный около окружности — ромб