Задание 23 ОГЭ по математике: геометрия: вычисления

Формулы к заданию 23

Основные понятия и углы

• $\alpha+\beta=180^\circ$ — смежные углы; биссектрисы смежных углов перпендикулярны
• $\alpha=\beta$ — вертикальные углы равны
• $0^\circ<\alpha<90^\circ,\quad \alpha=90^\circ,\quad 90^\circ<\alpha<180^\circ$ — острый, прямой, тупой угол; развёрнутый угол равен $180^\circ$
• $\angle1=\angle2$ — накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны
• $\angle1=\angle3$ — соответственные углы при параллельных прямых равны

Треугольники

• $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ — сумма углов треугольника; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $c$ — гипотенуза
• $\sin A=\dfrac{a}{c},\ \cos A=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}$ — прямоугольный треугольник: $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12,\quad \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус и косинус углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ — тангенс углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$

Четырёхугольники

• $AB=CD,\ AD=BC,\ \angle A=\angle C$ — в параллелограмме противоположные стороны и углы равны
• $\angle A+\angle B=180^\circ$ — сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне
• $AO=OC,\ BO=OD$ — диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам
• $d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)$ — сумма квадратов диагоналей параллелограмма
• $AC\perp BD$ — диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов

Координаты на плоскости

• $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ — расстояние между точками $A(x_1;\ y_1)$ и $B(x_2;\ y_2)$
• $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2};\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ — середина отрезка
• $G\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ — точка пересечения медиан треугольника
• $y=kx+b$ — уравнение прямой; $k=\operatorname{tg}\varphi$ — угловой коэффициент ($\varphi$ — угол с осью $Ox$), $b$ — ордината пересечения с осью $Oy$
• $ax+by+c=0$ — общее уравнение прямой

Векторы на плоскости

• $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)$ — координаты вектора
• $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$ — длина вектора; в пространстве добавляется $z^2$
• $\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2),\quad k\vec a=(kx;\ ky)$ — сумма, разность, умножение на число
• $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ — правило треугольника; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ — правило параллелограмма $ABCD$
• $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ — разность векторов с общим началом идёт от вычитаемого к уменьшаемому

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.