Задание 22 ОГЭ по математике: графики

ОГЭ по математике · задание 22 · часть 2, развёрнутое решение · до 2 баллов. В банке «Корень» — 15 задач этого номера: графики функций, задачи с параметром, квадратичная функция, линейная функция, обратная пропорциональность, дробно-рациональные уравнения.

Формулы к заданию 22

Графики функций

$y=kx+b$ — прямая: $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $Oy$
$k_1=k_2,\ b_1\ne b_2$ — прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны
$y=ax^2+bx+c$ — парабола: ветви вверх при $a>0$ , вниз при $a<0$
$x_0=-\dfrac{b}{2a},\quad y_0=y(x_0)$ — координаты вершины параболы
$y=\dfrac{k}{x}$ — гипербола: при $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV

Линейная функция

$y=kx+b$ — линейная функция; $D=\mathbb{R}$ ; $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с $Oy$
$k>0$ — функция возрастает, $k<0$ — убывает, $k=0$ — постоянная $y=b$ (горизонтальная прямая)
$k=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси $Ox$
$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угловой коэффициент по двум точкам $(x_1;\,y_1)$ , $(x_2;\,y_2)$ , $x_1\ne x_2$
$y-y_1=k\,(x-x_1)$ — прямая через точку $(x_1;\,y_1)$ с угловым коэффициентом $k$

Квадратичная функция

$y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$ — квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
$a>0$ — ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
$x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
$y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$ — ордината вершины, $D=b^2-4ac$
$y=a(x-x_0)^2+y_0$ — вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$

Преобразования графиков

$y=f(x-a)$ — сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль $Ox$ на $a$ вправо (при $a<0$ — влево)
$y=f(x)+b$ — сдвиг вдоль $Oy$ на $b$ вверх (при $b<0$ — вниз)
$y=f(x-a)+b$ — сдвиг на вектор $(a;\,b)$ ; вершина параболы $y=x^2$ переходит в $(a;\,b)$
$y=-f(x)$ — симметрия графика относительно оси $Ox$
$y=f(-x)$ — симметрия графика относительно оси $Oy$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: средняя

Постройте график функции

$y=\begin{cases} x^2+2x-3, & x\ge -2,\\ x-1, & x<-2,\end{cases}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Подсказки

Выделите полный квадрат в выражении $x^2+2x-3$ , чтобы найти вершину параболы, и найдите значения обеих частей функции в точке $x=-2$ .
Постройте часть параболы при $x\ge -2$ и луч $y=x-1$ при $x<-2$ ; отметьте, какие значения принимает каждая часть.
Двигайте горизонтальную прямую $y=m$ снизу вверх и считайте точки пересечения; отдельно рассмотрите положения, когда прямая проходит через вершину параболы и через точку стыка двух частей.

Решение

При $x\ge -2$ график — часть параболы $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$ . Её ветви направлены вверх, вершина — точка $(-1;\,-4)$ , парабола проходит через точки $(-2;\,-3)$ , $(0;\,-3)$ , $(1;\,0)$ , $(-3;\,0)$ (последняя не входит в график, так как $-3<-2$ ). На промежутке $[-2;\,-1]$ функция убывает от $-3$ до $-4$ , на промежутке $[-1;\,+\infty)$ возрастает от $-4$ до $+\infty$ .

При $x<-2$ график — луч прямой $y=x-1$ , проходящий через точки $(-3;\,-4)$ , $(-4;\,-5)$ . При $x\to -2$ значения стремятся к $-3$ , а сама точка $(-2;\,-3)$ принадлежит параболической части, поэтому график непрерывен. Значения на луче — все числа, меньшие $-3$ .

Считаем общие точки графика и прямой $y=m$ :

при $m<-4$ — одна точка (на луче);

при $m=-4$ — две точки: $(-3;\,-4)$ на луче и вершина $(-1;\,-4)$ ;

при $-4<m<-3$ — три точки: одна на луче и две на параболе;

при $m=-3$ — две точки: $(-2;\,-3)$ и $(0;\,-3)$ на параболе (луч значения $-3$ не принимает);

при $m>-3$ — одна точка на правой ветви параболы (на луче значения меньше $-3$ , а левая часть параболы при $-2\le x\le -1$ принимает значения от $-4$ до $-3$ ).

Ровно две общие точки получаются при $m=-4$ и $m=-3$ .

Ответ: $m=-4$ ; $m=-3$ .

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

Постройте график функции

$y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Подсказки

Разложите числитель на множители: это биквадратный трёхчлен, сделайте замену $t=x^2$ .
После сокращения дроби получится квадратный трёхчлен; не забудьте, что точки $x=3$ и $x=-2$ не входят в область определения — на графике они выколоты.
Прямая $y=m$ имеет с параболой одну общую точку, если проходит через вершину, а также если одна из двух точек пересечения оказывается выколотой.

Решение

Разложим числитель: $x^4-13x^2+36=(x^2-4)(x^2-9)=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ . Область определения: $x\ne 3$ , $x\ne -2$ . При этих $x$

$y=\frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}=(x-2)(x+3)=x^2+x-6.$

График — парабола $y=x^2+x-6$ с ветвями вверх и вершиной в точке $\left(-\frac12;\,-6\frac14\right)$ , пересекающая ось абсцисс в точках $(-3;\,0)$ и $(2;\,0)$ , из которой выколоты точки с абсциссами $3$ и $-2$ :

$y(3)=9+3-6=6$ , выколота точка $(3;\,6)$ ; $y(-2)=4-2-6=-4$ , выколота точка $(-2;\,-4)$ .

Прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку в следующих случаях.

Прямая проходит через вершину параболы: $m=-6{,}25$ .
Прямая проходит через выколотую точку $(3;\,6)$ : $m=6$ . Тогда $x^2+x-6=6$ , $x^2+x-12=0$ , $x=3$ или $x=-4$ ; точка с $x=3$ выколота, остаётся одна точка $(-4;\,6)$ .
Прямая проходит через выколотую точку $(-2;\,-4)$ : $m=-4$ . Тогда $x^2+x-2=0$ , $x=-2$ или $x=1$ ; остаётся одна точка $(1;\,-4)$ .

При остальных $m>-6{,}25$ прямая пересекает график в двух точках, при $m<-6{,}25$ общих точек нет.

Ответ: $m=-6{,}25$ ; $m=-4$ ; $m=6$ .

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

Постройте график функции $y=x^2-6|x|+5$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Подсказки

Раскройте модуль: рассмотрите отдельно случаи $x\ge 0$ и $x<0$ .
Функция чётная: достаточно построить часть графика при $x\ge 0$ и отразить её симметрично относительно оси ординат.
Найдите вершины обеих частей и значение функции при $x=0$ , затем проследите, сколько точек пересечения даёт горизонтальная прямая при разных $m$ .

Решение

При $x\ge 0$ : $y=x^2-6x+5=(x-3)^2-4$ — часть параболы с вершиной $(3;\,-4)$ , проходящая через точки $(0;\,5)$ , $(1;\,0)$ , $(5;\,0)$ .

При $x<0$ : $y=x^2+6x+5=(x+3)^2-4$ — часть параболы с вершиной $(-3;\,-4)$ , проходящая через точки $(-1;\,0)$ , $(-5;\,0)$ ; при $x\to 0$ значения стремятся к $5$ .

Функция чётная, график симметричен относительно оси ординат и имеет вид буквы «W»: два минимума $-4$ в точках $x=\pm 3$ и локальный максимум $5$ в точке $x=0$ .

Число общих точек с прямой $y=m$ :

при $m<-4$ — ни одной;

при $m=-4$ — две (вершины $(-3;\,-4)$ и $(3;\,-4)$ );

при $-4<m<5$ — четыре;

при $m=5$ — три (точки $(0;\,5)$ , $(-6;\,5)$ , $(6;\,5)$ );

при $m>5$ — две.

Ответ: $m=-4$ ; $m>5$ .

Решить в Telegram