Преобразования графиков: формулы

Из графика $y=f(x)$ строят графики сложных функций с помощью сдвигов, растяжений, симметрий и модуля. Действие над аргументом (внутри скобок) работает «наоборот» и по оси $Ox$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: функции.

• $$y=f(x-a)$$сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль $Ox$ на $a$ вправо (при $a<0$ — влево)
• $$y=f(x)+b$$сдвиг вдоль $Oy$ на $b$ вверх (при $b<0$ — вниз)
• $$y=f(x-a)+b$$сдвиг на вектор $(a;\,b)$; вершина параболы $y=x^2$ переходит в $(a;\,b)$
• $$y=-f(x)$$симметрия графика относительно оси $Ox$
• $$y=f(-x)$$симметрия графика относительно оси $Oy$
• $$y=-f(-x)$$симметрия относительно начала координат (центральная симметрия)
• $$y=kf(x),\ k>0$$растяжение вдоль $Oy$ в $k$ раз (при $k<1$ — сжатие); нули функции не меняются
• $$y=f(kx),\ k>0$$сжатие вдоль $Ox$ в $k$ раз (при $k<1$ — растяжение); точка пересечения с $Oy$ не меняется
• $$y=|f(x)|$$части графика ниже оси $Ox$ отражают симметрично вверх, остальное не меняется
• $$y=f(|x|)$$часть графика при $x\ge0$ оставляют и отражают в левую полуплоскость; график чётный ЕГЭ профиль, ОГЭ
• $$y=|f(|x|)|$$сначала $f(|x|)$, потом отражают вверх части ниже оси $Ox$ ЕГЭ профиль
• $$y=f^{-1}(x)$$график обратной функции симметричен графику $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$ ЕГЭ профиль
• $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$там, где $f(x)=0$, вертикальные асимптоты; знак сохраняется; монотонность на промежутках постоянного знака меняется на противоположную ЕГЭ профиль
• $$f(x)=a$$число корней уравнения равно числу точек пересечения графика $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$ ОГЭ, ЕГЭ профиль
• $$y=kx$$прямая с параметром $k$ вращается вокруг начала координат; число общих точек с графиком определяют по касанию и положению относительно выколотых точек ОГЭ, ЕГЭ профиль
• $$y=\dfrac{(x-a)\,g(x)}{x-a}=g(x),\ x\ne a$$после сокращения на графике остаётся выколотая точка при $x=a$ ОГЭ