Свойства функций: формулы

Функция сопоставляет каждому $x$ из области определения ровно одно значение $y$. Свойства (чётность, монотонность, экстремумы, периодичность) читают по формуле или по графику.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: функции.

• $$D(f)$$область определения: все $x$, при которых выражение имеет смысл; $E(f)$ — множество значений функции
• $$\dfrac{1}{g(x)}\colon g(x)\ne0;\quad \sqrt{g(x)}\colon g(x)\ge0$$ОДЗ дроби и квадратного корня
• $$\log_a g(x)\colon g(x)>0,\ a>0,\ a\ne1;\quad \operatorname{tg}x\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$ОДЗ логарифма и тангенса ЕГЭ профиль
• $$f(x_0)=0$$нуль функции: абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$; пересечение с $Oy$ — точка $(0;\,f(0))$
• $$f(x)>0$$график лежит выше оси $Ox$; $f(x)<0$ — ниже: так находят промежутки знакопостоянства
• $$f(-x)=f(x)$$чётная функция: график симметричен относительно оси $Oy$; область определения симметрична относительно нуля ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$f(-x)=-f(x)$$нечётная функция: график симметричен относительно начала координат ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$f(x+T)=f(x)$$периодическая функция с периодом $T$; $\sin$, $\cos$ имеют период $2\pi$, $\operatorname{tg}$, $\operatorname{ctg}$ — $\pi$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$функция возрастает на промежутке ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$$функция убывает на промежутке ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$f(x)\le f(x_0),\ x\in(x_0-\delta;\,x_0+\delta)$$$x_0$ — точка максимума; при $f(x)\ge f(x_0)$ — точка минимума
• $$x_{\max},\ x_{\min}$$точки экстремума: абсциссы «вершин» и «впадин» графика; значения функции в них — экстремумы, $y_{\max}$ и $y_{\min}$
• $$f(x)\le M\ \forall x,\quad f(x_0)=M$$наибольшее значение функции равно $M$; наименьшее определяется аналогично
• $$y=f(g(x))$$сложная функция: сначала находят $u=g(x)$, затем $f(u)$; $D$ — те $x$, для которых $g(x)\in D(f)$ ЕГЭ профиль
• $$x=f(y)$$обратная функция $y=f^{-1}(x)$: график симметричен графику $y=f(x)$ относительно прямой $y=x$; существует у строго монотонной функции ЕГЭ профиль
• $$f(x)=g(x)$$абсциссы точек пересечения графиков $y=f(x)$ и $y=g(x)$; число решений уравнения — число пересечений
• $$(f+g),\ (f\cdot g),\ \dfrac{f}{g}$$арифметика функций; нечётная $\times$ нечётная — чётная, чётная $\times$ нечётная — нечётная ЕГЭ профиль