Степенные функции, корень, гипербола: формулы

График степенной функции зависит от показателя и его чётности. Корень — обратная функция к возведению в степень на $x\ge0$, гипербола — график обратной пропорциональности.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: функции.

• $$y=x^2$$парабола: $D=\mathbb{R}$, $E=[0;\,+\infty)$, чётная; убывает на $(-\infty;\,0]$, возрастает на $[0;\,+\infty)$
• $$y=x^{2n}$$чётная степень: график похож на параболу, проходит через $(0;\,0)$, $(\pm1;\,1)$; $E=[0;\,+\infty)$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=x^3$$кубическая парабола: $D=E=\mathbb{R}$, нечётная, возрастает на всей оси ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=x^{2n+1}$$нечётная степень: возрастает, симметрия относительно начала координат; $E=\mathbb{R}$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=\sqrt{x}$$$D=E=[0;\,+\infty)$, возрастает; график — верхняя ветвь параболы $x=y^2$
• $$y=\sqrt[3]{x}$$$D=E=\mathbb{R}$, нечётная, возрастает; обратная к $y=x^3$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=\sqrt[2n]{x}$$корень чётной степени: $D=E=[0;\,+\infty)$; $y=\sqrt[2n+1]{x}$ — нечётной: $D=E=\mathbb{R}$ ЕГЭ профиль
• $$y=x^{\alpha}$$степень с произвольным показателем $\alpha$: на $x>0$ возрастает при $\alpha>0$, убывает при $\alpha<0$ ЕГЭ профиль
• $$y=\dfrac{k}{x}$$обратная пропорциональность: $D=E=(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$, нечётная, график — гипербола с асимптотами $x=0$, $y=0$
• $$k>0$$ветви гиперболы $y=\dfrac{k}{x}$ в I и III четвертях, функция убывает на каждом из промежутков; $k<0$ — во II и IV, функция возрастает на каждом промежутке
• $$y=\dfrac{k}{x-a}+b$$гипербола со сдвигом: асимптоты $x=a$ и $y=b$, центр симметрии $(a;\,b)$
• $$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{k}{x+d/c}$$дробно-линейная функция: выделяют целую часть и получают сдвинутую гиперболу, $c\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$xy=k$$произведение координат любой точки гиперболы постоянно; по точке на графике находят $k$
• $$y=x^{-1}=\dfrac1x,\quad y=x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$$отрицательные целые показатели: $\dfrac{1}{x^2}$ чётная, $E=(0;\,+\infty)$ ЕГЭ профиль
• $$y=|x|=\sqrt{x^2}$$модуль: чётная, убывает при $x\le0$, возрастает при $x\ge0$, $E=[0;\,+\infty)$
• $$0<x<1\Rightarrow x^3<x^2<x;\quad x>1\Rightarrow x<x^2<x^3$$сравнение степеней одного числа ЕГЭ профиль, ЕГЭ база