Касательная к графику: формулы

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Это связывает уравнение касательной, угол наклона и задачи на касание графиков.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: функции.

• $$k=f'(x_0)$$угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$
• $$k=\operatorname{tg}\alpha$$$\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$; $\alpha$ острый $\Rightarrow k>0$, тупой $\Rightarrow k<0$
• $$k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$угловой коэффициент находят по двум точкам касательной на графике (по клеткам) ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$уравнение касательной в точке $x_0$ ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)=0$$касательная параллельна оси $Ox$ (горизонтальна): $y=f(x_0)$
• $$f'(x_0)=k$$касательная параллельна прямой $y=kx+b$: решают уравнение относительно $x_0$ ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)\cdot k_2=-1$$касательная перпендикулярна прямой с угловым коэффициентом $k_2$ ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)>0$$касательная идёт вверх (функция в точке возрастает), $f'(x_0)<0$ — вниз
• $$\begin{cases}f(x_0)=g(x_0)\cr f'(x_0)=g'(x_0)\end{cases}$$графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ касаются в точке $x_0$ ЕГЭ профиль
• $$y=kx+b$$прямая касается графика $f$, если система $f(x)=kx+b$, $f'(x)=k$ имеет решение ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$$в прямоугольном треугольнике, построенном по клеткам, под касательной ЕГЭ база
• $$\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha$$для тупого угла наклона касательной $k=-\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)$
• $$s'(t)=v(t)$$физический смысл производной: мгновенная скорость; $v'(t)=a(t)$ — ускорение ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$средняя скорость изменения функции на $[a;\,b]$ (угловой коэффициент секущей) ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$приближённое значение производной при малом $h$ ЕГЭ профиль