Показательная и логарифмическая функции: формулы

Показательная $y=a^x$ и логарифмическая $y=\log_ax$ — взаимно обратные функции, их графики симметричны относительно прямой $y=x$. При $a>1$ обе возрастают, при $0<a<1$ — убывают.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: функции.

• $$y=a^x,\ a>0,\ a\ne1$$показательная функция: $D=\mathbb{R}$, $E=(0;\,+\infty)$; график проходит через $(0;\,1)$ и $(1;\,a)$
• $$a>1$$функция $a^x$ возрастает; $0<a<1$ — убывает
• $$y=0$$горизонтальная асимптота графика $y=a^x$ (график не пересекает ось $Ox$)
• $$y=e^x,\quad e\approx2{,}718$$экспонента: основание — число $e$; $e^x$ возрастает
• $$y=\log_ax,\ a>0,\ a\ne1$$логарифмическая функция: $D=(0;\,+\infty)$, $E=\mathbb{R}$; график проходит через $(1;\,0)$ и $(a;\,1)$
• $$a>1$$функция $\log_ax$ возрастает; $0<a<1$ — убывает
• $$x=0$$вертикальная асимптота графика $y=\log_ax$
• $$y=\ln x=\log_ex$$натуральный логарифм: возрастает, $\ln1=0$, $\ln e=1$
• $$a^{\log_ax}=x\ (x>0),\quad \log_aa^x=x$$функции взаимно обратны, их графики симметричны относительно прямой $y=x$
• $$a>1:\ a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1<x_2$$сравнение значений показательной функции при $a>1$; при $0<a<1$ знак меняется
• $$a>1:\ \log_ax_1<\log_ax_2\iff 0<x_1<x_2$$сравнение логарифмов при $a>1$; при $0<a<1$ знак меняется
• $$y=a^{-x}=\left(\dfrac1a\right)^x$$график симметричен графику $y=a^x$ относительно оси $Oy$
• $$y=\log_{1/a}x=-\log_ax$$график симметричен графику $y=\log_ax$ относительно оси $Ox$
• $$y=a^{x+m}+n$$график $y=a^x$ сдвинут на $m$ влево и на $n$ вверх; асимптота $y=n$ ЕГЭ профиль
• $$y=\log_a(x+m)+n$$график сдвинут на $m$ влево и на $n$ вверх; асимптота $x=-m$ ЕГЭ профиль
• $$y=a^x$$по графику через точку $(x_1;\,y_1)$ находят основание: $a=y_1^{1/x_1}$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$y=\log_a|x|$$чётная функция при $x\ne0$: график симметричен относительно оси $Oy$ ЕГЭ профиль