Задание 12 ЕГЭ профиль по математике: наибольшее и наименьшее

Формулы к заданию 12

Свойства функций

• $D(f)$ — область определения: все $x$, при которых выражение имеет смысл; $E(f)$ — множество значений функции
• $\dfrac{1}{g(x)}\colon g(x)\ne0;\quad \sqrt{g(x)}\colon g(x)\ge0$ — ОДЗ дроби и квадратного корня
• $\log_a g(x)\colon g(x)>0,\ a>0,\ a\ne1;\quad \operatorname{tg}x\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — ОДЗ логарифма и тангенса
• $f(x_0)=0$ — нуль функции: абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$; пересечение с $Oy$ — точка $(0;\,f(0))$
• $f(x)>0$ — график лежит выше оси $Ox$; $f(x)<0$ — ниже: так находят промежутки знакопостоянства

Квадратичная функция

• $y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$ — квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
• $a>0$ — ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
• $y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$ — ордината вершины, $D=b^2-4ac$
• $y=a(x-x_0)^2+y_0$ — вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$

Показательная и логарифмическая функции

• $y=a^x,\ a>0,\ a\ne1$ — показательная функция: $D=\mathbb{R}$, $E=(0;\,+\infty)$; график проходит через $(0;\,1)$ и $(1;\,a)$
• $a>1$ — функция $a^x$ возрастает; $0<a<1$ — убывает
• $y=0$ — горизонтальная асимптота графика $y=a^x$ (график не пересекает ось $Ox$)
• $y=e^x,\quad e\approx2{,}718$ — экспонента: основание — число $e$; $e^x$ возрастает
• $y=\log_ax,\ a>0,\ a\ne1$ — логарифмическая функция: $D=(0;\,+\infty)$, $E=\mathbb{R}$; график проходит через $(1;\,0)$ и $(a;\,1)$

Производная

• $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ — определение производной в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента
• $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=k$ — геометрический смысл: угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$
• $v(t)=x'(t),\quad a(t)=v'(t)=x''(t)$ — физический смысл: скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости
• $f'>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'<0\Rightarrow f\downarrow$ — признак монотонности: где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает
• $C'=0,\quad x'=1,\quad (x^n)'=nx^{n-1}$ — константа и степень

Чтение графика производной

• $f'(x)>0$ — график $f'$ выше оси $Ox$: функция $f$ возрастает на этом промежутке
• $f'(x)<0$ — график $f'$ ниже оси $Ox$: функция $f$ убывает на этом промежутке
• $f'(x_0)=0$ — график $f'$ пересекает ось $Ox$ или касается её: $x_0$ — критическая точка функции $f$
• $f'\colon{+}\to{-}$ — производная меняет знак с «+» на «−»: $x_0$ — точка максимума функции $f$
• $f'\colon{-}\to{+}$ — производная меняет знак с «−» на «+»: $x_0$ — точка минимума функции $f$

Наибольшее и наименьшее значение функции

• $f'(x)=0$ — критические точки: решают уравнение; точки, где $f'$ не существует, тоже критические
• $x_i\in[a;\,b]$ — в рассмотрение берут только критические точки, лежащие внутри отрезка
• $f(a),\ f(b),\ f(x_1),\dots,f(x_n)$ — наибольшее и наименьшее из этих чисел — ответ на отрезке $[a;\,b]$
• $f'\colon{+}\to{-}$ — смена знака производной с «+» на «−»: точка максимума
• $f'\colon{-}\to{+}$ — смена знака с «−» на «+»: точка минимума

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.