Наибольшее и наименьшее значение функции: формулы

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются на концах или в критических точках. Алгоритм: найти $f'$, приравнять к нулю, оставить корни из отрезка, сравнить значения.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: функции.

• $$f'(x)=0$$критические точки: решают уравнение; точки, где $f'$ не существует, тоже критические ЕГЭ профиль
• $$x_i\in[a;\,b]$$в рассмотрение берут только критические точки, лежащие внутри отрезка ЕГЭ профиль
• $$f(a),\ f(b),\ f(x_1),\dots,f(x_n)$$наибольшее и наименьшее из этих чисел — ответ на отрезке $[a;\,b]$ ЕГЭ профиль
• $$f'\colon{+}\to{-}$$смена знака производной с «+» на «−»: точка максимума ЕГЭ профиль
• $$f'\colon{-}\to{+}$$смена знака с «−» на «+»: точка минимума ЕГЭ профиль
• $$f'>0\ \text{на}\ [a;\,b]\Rightarrow \min=f(a),\ \max=f(b)$$функция возрастает, значения на концах отрезка ЕГЭ профиль
• $$f'<0\ \text{на}\ [a;\,b]\Rightarrow \max=f(a),\ \min=f(b)$$функция убывает ЕГЭ профиль
• $$x_0$$единственная критическая точка на промежутке и в ней минимум (максимум) — это наименьшее (наибольшее) значение функции на всём промежутке ЕГЭ профиль
• $$x_{\max}\ne f(x_{\max})$$различают точку максимума (абсциссу), значение функции в ней и наибольшее значение на отрезке (оно может достигаться на конце отрезка) ЕГЭ профиль
• $$y=ax^2+bx+c$$наибольшее или наименьшее значение — в вершине $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, если она лежит в промежутке ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$a+b\ge2\sqrt{ab},\ a,b\ge0$$неравенство о средних: для оценки сумм (например, $x+\dfrac{k}{x}\ge2\sqrt{k}$ при $x>0$, $k>0$) ЕГЭ профиль
• $$-1\le\sin x\le1,\quad -1\le\cos x\le1$$ограниченность: оценка наибольшего и наименьшего значений тригонометрических выражений ЕГЭ профиль
• $$a^{f(x)},\ a>1$$экстремумы достигаются в тех же точках, что у $f(x)$; при $0<a<1$ максимум и минимум меняются местами ЕГЭ профиль
• $$\log_a f(x),\ a>1$$экстремумы там же, где у $f(x)$ (при $f(x)>0$); при $0<a<1$ максимум и минимум меняются местами ЕГЭ профиль
• $$\sqrt{f(x)}$$достигает экстремумов там же, где $f(x)$ (при $f(x)\ge0$) ЕГЭ профиль
• $$e^x>0$$множитель $e^x$ всегда положителен: в $f'=e^x\cdot p(x)$ знак определяет $p(x)$ ЕГЭ профиль
• $$f'(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$знак дроби: числитель и знаменатель; промежутки находят методом интервалов ЕГЭ профиль