Задание 7 ЕГЭ база по математике: графики и производная

Формулы к заданию 7

Свойства функций

• $D(f)$ — область определения: все $x$, при которых выражение имеет смысл; $E(f)$ — множество значений функции
• $\dfrac{1}{g(x)}\colon g(x)\ne0;\quad \sqrt{g(x)}\colon g(x)\ge0$ — ОДЗ дроби и квадратного корня
• $f(x_0)=0$ — нуль функции: абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$; пересечение с $Oy$ — точка $(0;\,f(0))$
• $f(x)>0$ — график лежит выше оси $Ox$; $f(x)<0$ — ниже: так находят промежутки знакопостоянства
• $f(-x)=f(x)$ — чётная функция: график симметричен относительно оси $Oy$; область определения симметрична относительно нуля

Графики функций

• $y=kx+b$ — прямая: $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $Oy$
• $k_1=k_2,\ b_1\ne b_2$ — прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны
• $y=ax^2+bx+c$ — парабола: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$
• $x_0=-\dfrac{b}{2a},\quad y_0=y(x_0)$ — координаты вершины параболы
• $y=\dfrac{k}{x}$ — гипербола: при $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV

Линейная функция

• $y=kx+b$ — линейная функция; $D=\mathbb{R}$; $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с $Oy$
• $k>0$ — функция возрастает, $k<0$ — убывает, $k=0$ — постоянная $y=b$ (горизонтальная прямая)
• $k=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси $Ox$
• $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угловой коэффициент по двум точкам $(x_1;\,y_1)$, $(x_2;\,y_2)$, $x_1\ne x_2$
• $y-y_1=k\,(x-x_1)$ — прямая через точку $(x_1;\,y_1)$ с угловым коэффициентом $k$

Квадратичная функция

• $y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$ — квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
• $a>0$ — ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
• $y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$ — ордината вершины, $D=b^2-4ac$
• $y=a(x-x_0)^2+y_0$ — вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$

Степенные функции, корень, гипербола

• $y=x^2$ — парабола: $D=\mathbb{R}$, $E=[0;\,+\infty)$, чётная; убывает на $(-\infty;\,0]$, возрастает на $[0;\,+\infty)$
• $y=x^{2n}$ — чётная степень: график похож на параболу, проходит через $(0;\,0)$, $(\pm1;\,1)$; $E=[0;\,+\infty)$
• $y=x^3$ — кубическая парабола: $D=E=\mathbb{R}$, нечётная, возрастает на всей оси
• $y=x^{2n+1}$ — нечётная степень: возрастает, симметрия относительно начала координат; $E=\mathbb{R}$
• $y=\sqrt{x}$ — $D=E=[0;\,+\infty)$, возрастает; график — верхняя ветвь параболы $x=y^2$

Показательная и логарифмическая функции

• $y=a^x,\ a>0,\ a\ne1$ — показательная функция: $D=\mathbb{R}$, $E=(0;\,+\infty)$; график проходит через $(0;\,1)$ и $(1;\,a)$
• $a>1$ — функция $a^x$ возрастает; $0<a<1$ — убывает
• $y=0$ — горизонтальная асимптота графика $y=a^x$ (график не пересекает ось $Ox$)
• $y=e^x,\quad e\approx2{,}718$ — экспонента: основание — число $e$; $e^x$ возрастает
• $y=\log_ax,\ a>0,\ a\ne1$ — логарифмическая функция: $D=(0;\,+\infty)$, $E=\mathbb{R}$; график проходит через $(1;\,0)$ и $(a;\,1)$

Преобразования графиков

• $y=f(x-a)$ — сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль $Ox$ на $a$ вправо (при $a<0$ — влево)
• $y=f(x)+b$ — сдвиг вдоль $Oy$ на $b$ вверх (при $b<0$ — вниз)
• $y=f(x-a)+b$ — сдвиг на вектор $(a;\,b)$; вершина параболы $y=x^2$ переходит в $(a;\,b)$
• $y=-f(x)$ — симметрия графика относительно оси $Ox$
• $y=f(-x)$ — симметрия графика относительно оси $Oy$

Производная

• $f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=k$ — геометрический смысл: угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$
• $f'>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'<0\Rightarrow f\downarrow$ — признак монотонности: где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает
• $(x^2)'=2x,\ (x^3)'=3x^2,\ (kx+b)'=k$ — частые случаи; линейная функция имеет постоянную производную

Касательная к графику

• $k=f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$
• $k=\operatorname{tg}\alpha$ — $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$; $\alpha$ острый $\Rightarrow k>0$, тупой $\Rightarrow k<0$
• $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент находят по двум точкам касательной на графике (по клеткам)
• $f'(x_0)=0$ — касательная параллельна оси $Ox$ (горизонтальна): $y=f(x_0)$
• $f'(x_0)>0$ — касательная идёт вверх (функция в точке возрастает), $f'(x_0)<0$ — вниз

Чтение графика производной

• $f'(x)>0$ — график $f'$ выше оси $Ox$: функция $f$ возрастает на этом промежутке
• $f'(x)<0$ — график $f'$ ниже оси $Ox$: функция $f$ убывает на этом промежутке
• $f'(x_0)=0$ — график $f'$ пересекает ось $Ox$ или касается её: $x_0$ — критическая точка функции $f$
• $f'\colon{+}\to{-}$ — производная меняет знак с «+» на «−»: $x_0$ — точка максимума функции $f$
• $f'\colon{-}\to{+}$ — производная меняет знак с «−» на «+»: $x_0$ — точка минимума функции $f$

Наибольшее и наименьшее значение функции

• $y=ax^2+bx+c$ — наибольшее или наименьшее значение — в вершине $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, если она лежит в промежутке

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.